forum.zadania.info

Oblicz odległość między stycznymi do wykresu funkcji \(f(x) = 2x^3 − 3x^2 − 24x+15\), które są równoległe do prostej \(y = 12x + 2\).

aradzikowska pisze: ↑17 mar 2020, 21:41 Oblicz odległość między stycznymi do wykresu funkcji \(f(x) = 2x^3 − 3x^2 − 24x+15\) , które są równoległe do prostej \(y = 12x + 2 \).

\(y'=f'(x)=6x^2-6x-24\wedge D'=D=\rr\)
Rodzina stycznych do tej krzywej:
\(s_m:\ y=(6m^2-6m-24)(x-m)+3m^3-3m^2-24m+15\wedge \ m\in\rr\)
\(s_m:\ y=(6m^2-6m-24)x-3m^3+3m^2+15\wedge \ m\in\rr\)

Aby równoległe, musi
\(6m^2-6m-24=12\)
\(\cdots\)
Wyznaczone wartości \(m\) wstaw do równania \(s_m\) i oblicz odległość pomiędzy otrzymanymi prostymi...

Pozdrawiam
PS. Popraw, proszę, swój post do "cytowanej" przeze mnie postaci

A może inaczej: znacznie prościej wyznaczyć punkty styczności z równania \(f'(x)=12\) (wychodzi \(-2\) oraz \(3\)). Styczna w punkcie \(-2\) to \(y-f(-2)=12(x+2)\), czyli \(12x-y+59=0.\) Punktem na drugiej stycznej jest \(\bigl(3,f(3)\bigr)=(3,-30).\) Jego odległość od pierwszej stycznej (a zatem odległość obu stycznych) to \(\dfrac{|12\cdot 3+30+59|}{\sqrt{12^2+1^2}}=\dfrac{125}{\sqrt{145}}.\)