Oblicz całkę \( \int_{A} fdm_n \) (dla odpowiedniego n) jeżeli:
\(f(x,y)=xy^3 dxdy\) , A jest obszarem położonym w pierwszej ćwiartce i ograniczonymi liniami
\(xy=1\),
\(xy=2\),
\(y=x\),
\(y=2x\)
Całka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Całka
Tego rodzaju całkę można policzyć na dwa sposoby. Ale przede wszystkim trzeba ten obszar narysować.
1. Dzielimy obszar na dwa podobszary i każdy opisujemy nierównościami. Liczymy całki po każdym obszarze i sumujemy.
2. Można dokonać zamiany zmiennych \(xy=s,\ \frac{y}{x}=t\) przechodząc na kwadrat \(\langle 1,2\rangle^2.\) Tu po prostu trzeba wyznaczyć jakobian w zależności od \(s,t\). Jest tak dlatego, że w twierdzeniu o zamianie zmiennych mnoży się przez moduł z jakobianu. Tutaj finalnie mamy całkę iterowaną \[\int\limits_{1}^{2}\left(\int\limits_1^2\frac{1}{2}s^2\text{d}s\right)\text{d}t.\]
1. Dzielimy obszar na dwa podobszary i każdy opisujemy nierównościami. Liczymy całki po każdym obszarze i sumujemy.
2. Można dokonać zamiany zmiennych \(xy=s,\ \frac{y}{x}=t\) przechodząc na kwadrat \(\langle 1,2\rangle^2.\) Tu po prostu trzeba wyznaczyć jakobian w zależności od \(s,t\). Jest tak dlatego, że w twierdzeniu o zamianie zmiennych mnoży się przez moduł z jakobianu. Tutaj finalnie mamy całkę iterowaną \[\int\limits_{1}^{2}\left(\int\limits_1^2\frac{1}{2}s^2\text{d}s\right)\text{d}t.\]
Odpowiedź: Wartością całki jest \(\frac{7}{6}\).
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Całka
Stopień zaawansowania Twojego wykładu zależy od kierunku, który studiujesz. Sądząc po Twoich pytaniach z funkcji analitycznych czy topologii, jest to matematyka. Tak więc twierdzenie o zamianie zmiennych jest jak najbardziej na miejscu.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_Jacobiego
Popatrz na przykład \(2\times 2\).
https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_Jacobiego
Popatrz na przykład \(2\times 2\).