forum.zadania.info

Wskazać przykład przestrzeni topologicznej, która jest zbiorem drugiej kategorii w sobie, ale nie jest przestrzenią Baire'a

Chodzi o przestrzeń, w której nie zachodzi twierdzenie Baire'a. Jest ono prawdziwe w przestrzeni metrycznej zupełnej. Tak więc przykładu można szukać wśród przestrzeni metrycznych z metrykami niezupełnymi bądź wśród przestrzeni niemetryzowalnych.

Zbiór drugiej kategorii do zbiór, który nie jest przeliczalną sumą zbiorów nigdzie gęstych.

czy dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową będzie dobrym przykładem?

albo zbiór liczb wymiernych ?

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalną sumą zbiorów nigdziegęstych (tu singletonów), więc jest pierwszej kategorii. W topologii podprzestrzeni \(\qq\) singletony są domknięte, bo są domknięte w \(\rr\). Mają też puste wnętrza, więc są nigdziegęste. Oczywiście \(qq\) w topologii podprzestrzeni nie jest zbiorem brzegowym, bo ma niepuste wnętrze.

Przedział typu \((a,b)\) nie jest przestrzenią metryczną zupełną (metryka euklidesowa), ale jest homeomorficzny z \(rr\), więc twierdzenie Baire'a w nim zachodzi.

Przedział typu \((a,b\rangle\) nie jest przestrzenią metryczną zupełną (metryka euklidesowa), jest drugiej kategorii, ale kto wie czy twierdzenie Baire'a w niej nie zachodzi... Trzeba zanalizować, które zbiory są tu nigdziegęste.