forum.zadania.info

Właśnie zamieściliśmy arkusze II próbnej matury.
https://zadania.info/n/6875528
Do jutra (8 marca) do godz. 16 posty na temat zadań i rozwiązań zadań z tych arkuszy będą usuwane.
Jeżeli macie wątpliwości co do poprawności treści zadań to piszcie na
supergolonkaMALPAzadania.info

Rozwiązania zadań:
Podstawa
Rozszerzenie

Dziś wypowiem się o zadaniu 4 z rozszerzenia. Mowa w nim o prawdopodobieństwach warunkowych \(P(A|B)\) oraz \(P(B|A)\) pod założeniami niepustości zdarzeń \(A,B\) oraz \(A\subset B'\).

Aby określić prawdopodobieństwo warunkowe \(P(A|B)\), potrzeba założyć, że \(P(B)>0\). Wtedy \(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.\) Dlatego uważam, że bezpieczniej i bardziej dydaktycznie (bo przecież część osób zdających rozszerzenie będzie później studiować matematykę) jest zastąpić w zadaniu 4 założenie niepustości zdarzeń \(A,B\) ich dodatnimi prawdopodobieństwami.

W schemacie klasycznym (zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony oraz wszystkie zdarzenia elementarne są równoprawdopodobne) niepustość zdarzenia powoduje już dodatniość jego prawdopodobieństwa. Tak więc w kontekście zadania maturalnego temat sformułowano poprawnie, gdyż w szkole średniej zwykle nie wychodzi się poza ten schemat.

Nie jest tak w sytuacji ogólnej. Dla przykładu niech zbiorem zdarzeń elementarnych będzie kwadrat o polu \(1\), a zdarzeniami wszystkie podzbiory tego kwadratu mające pole (istnieją podzbiory płaszczyzny nie posiadające pola). Ściśle mówiąc, słowo pole należałoby zastąpić zwrotem miara Lebesgue'a na płaszczyźnie, ale pozostańmy przy zwykłym polu - to zupełnie wystarczy. Prawdopodobieństwem zdarzenia \(A\) (tj. podzbioru kwadratu jednostkowego) będzie pole tego zbioru. Jest jasne, że zdarzenia elementarne, czyli zbiory jednopunktowe, mają pola zerowe, więc istnieją zdarzenia niepuste o zerowych prawdopodobieństwach. W rozważanym modelu zerowe prawdopodobieństwa mają także wszystkie odcinki, wykresy funkcji ciągłych zawarte w kwadracie (np. \(y=x^n\), gdzie \(n\in\nn\)) i wiele innych podzbiorów kwadratu.

Rozwiązanie zadania przebiega identycznie: skoro \(A\subset B'\), to \(A\cap B=\emptyset\), więc \(P(A\cap B)=0\), a skoro to prawdopodobieństwo występuje w liczniku obu prawdopodobieństw warunkowych \(P(A|B)\) oraz \(P(B|A)\), to \(P(A|B)=P(B|A)=0.\)