1.Liczba naturalna a przy dzieleniu przez 10 daje resztę identyczną z ilorazem. Ile jest takich liczb?
zad.2Mamy do dyspozycji 3 kolory. Na ile sposobów można pomalować ściany sześcianu, używając każdego koloru dwukrotnie, przy czym każda ściana jest pomalowana wyłącznie jednym kolorem?
zad.3Jaka jest ostatnia cyfra w zapisie dziesiętnym liczby
\(2007 x 2 ^{2007}\) ?
Liczby, kolory
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(a=10b+b\ \ \wedge \ b<10\\a=11b \Rightarrow a \in \left\{11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99 \right\}\)
Jest 9 takich liczb.
2.
Wybieramy 2 ściany i malujemy je jednym kolorem, z pozostałych 4 ścian wybieramy 2, żeby pomalować drugim kolorem i pozostałe 2 ściany malujemy trzecim.
\({6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {2 \choose 2} =180\)
3.
\(2007\cdot2^{2007}\)
Kolejne potęgi liczby 2 mają ostatnią cyfrę równą 2, 4, 8 lub 6. Te liczby są w cyklu powtarzającym się co 4. Trzeba sprawdzić resztę z dzielenia liczby 2007 przez 4, żeby sprawdzić, jaka będzie ostatnia cyfra tej potęgi dwójki.
2007:4=251, r=3.
ostatnia cyfra liczby \(2^{2007}\) będzie taka sama, jak ostatnia cyfra liczby \(2^3=8\).
Ostatnia cyfra liczby \(2007\cdot2^{2007}\) jest taka sama, jak ostatnia cyfra iloczynu \(7\cdot8=56\).
Czyli - ostatnia cyfra tej liczby to 6.
\(a=10b+b\ \ \wedge \ b<10\\a=11b \Rightarrow a \in \left\{11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99 \right\}\)
Jest 9 takich liczb.
2.
Wybieramy 2 ściany i malujemy je jednym kolorem, z pozostałych 4 ścian wybieramy 2, żeby pomalować drugim kolorem i pozostałe 2 ściany malujemy trzecim.
\({6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {2 \choose 2} =180\)
3.
\(2007\cdot2^{2007}\)
Kolejne potęgi liczby 2 mają ostatnią cyfrę równą 2, 4, 8 lub 6. Te liczby są w cyklu powtarzającym się co 4. Trzeba sprawdzić resztę z dzielenia liczby 2007 przez 4, żeby sprawdzić, jaka będzie ostatnia cyfra tej potęgi dwójki.
2007:4=251, r=3.
ostatnia cyfra liczby \(2^{2007}\) będzie taka sama, jak ostatnia cyfra liczby \(2^3=8\).
Ostatnia cyfra liczby \(2007\cdot2^{2007}\) jest taka sama, jak ostatnia cyfra iloczynu \(7\cdot8=56\).
Czyli - ostatnia cyfra tej liczby to 6.