forum.zadania.info

Witam, szukam łatwego sposobu na obliczanie jądra i obrazu przekształcenia liniowego.
znalazłem coś takiego: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=11182#p52850
niestety gdy próbuje znaleźć jądro i obraz tym sposobem dla przekształcenia f : R^3 →R^3, f (x,y,z) = (x −y,y −z,0)
to wychodzi mi dobre jądro ale obraz już nie. wyniki jakie mi wychodzą to ker f= lim{(1,1,1)} a im f={(1,0,0),(0,1,0)}
prawidłowe wyniki to:
ker f= lim{(1,1,1)}
im f={(1,0,0),(-1,1,0)}
prosze o pomoc

Jądro jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu równań\[\left\{\begin{aligned}x-y&=0,\\ y-z&=0,\end{aligned}\right.\]czyli \(x=y=z\), a więc \(x=t,\ y=t,\ z=t\), więc \(\ker f=\text{lin}\{(1,1,1)\}.\) Co do obrazu, niech \(f(x,y,z)=(u,v,w).\) Dlatego mamy tu układ równań:\[\left\{\begin{aligned}x-y&=u,\\ y-z&=v,\\ 0&=w.\end{aligned}\right.\]Jest to zbiór rozwiązań układu równań liniowych. Wyznacz bazę przestrzeni rozwiązań.

wyznaczanie jądra już rozumiem ale nie wiem jak wyznaczyć tą bazę przestrzeni rozwiązań, mógłbyś dokończyć obliczanie obrazu?

Mi też taki obraz wyszedł.
Z układu podanego przez @szw1710 też tak wychodzi.
Z przestrzeniami liniowymi tak bywa. Zauważ, że (1,0,0)+(-1,1,0)=(0,1,0), więc
\(lin\{(1,0,0),(-1,1,0)\}=lin\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)

Ten sposób wyznaczania obrazu działa.

Można zauważyć, że\[f(x,y,z)=x(1,0,0)-y(1,1,0)-z(0,1,0),\]a te trzy wektory są liniowo zależne. Wybierz dwa liniowo niezależne są nimi np. \((1,0,0)\) oraz \((0,1,0)\), jak napisano powyżej.