forum.zadania.info

Wyznaczyć wszystkie asymptoty (pionową, poziomą, ukośną) funkcji \(f(x) = \frac{2^{2}-x}{x-1}, x \in \mathbb{R}\)

W liczniku jest (4-x) czy \((2x^2-x)\) ...
Niezależnie od licznika mogę tylko podać asymptotę pionową
\(x=1\)

Wyznaczyć wszystkie asymptoty (pionową, poziomą, ukośną) funkcji \(f(x) = \frac{2x^{2}-x}{x-1}, x \in \mathbb{R}\)

Asymptota ukośna \(y=ax+b\\a= \Lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}= \Lim_{x\to \infty}\frac{2x^2-x}{x^2-x}= \Lim_{x\to \infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2\\b= \Lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)= \Lim_{x\to \infty}(\frac{2x^2-x}{x-1}-2x)= \Lim_{x\to \infty}(\frac{2x^2-x}{x-1}-\frac{2x(x-1)}{x-1})= \Lim_{x\to \infty}\frac{2x^2-x-2x^2+2x}{x-1}= \Lim_{x\to \infty}\frac{x}{x-1}=1\\y=2x+1\)
Dokładnie tak samo policzysz
\( \Lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=2=a\\b=1\\y=2x+1\)
Jest więc jedna asymptota ukośna y=2x+1
Asymptoty poziomej nie ma,bo już jest ukośna.(pozioma jest szczególnym przypadkiem ukośnej,gdy a=0)

W kwestii asymptoty ukośnej zaproponuję rozwiązanie bezpośrednie. Skoro licznik jest stopnia 2, zaś mianownik liniowy, to zwyczajnie iloraz jest funkcją liniową i jeszcze mamy resztę.\[\begin{multline}f(x)=\frac{2x^2-x}{x-1}=\frac{2(x-1)^2+4x-2-x}{x-1}=\frac{2(x-1)^2+3(x-1)+5}{x-1}=\\=2(x-1)+3+\frac{5}{x-1}=2x+1+\frac{5}{x-1}.\end{multline}\]Dlatego\[\lim_{x\to\pm \infty}\bigl(f(x)-(2x+1)\bigr)=\lim_{x\to\pm \infty}\frac{5}{x-1}=0,\]więc na podstawie definicji prosta \(y=2x+1\) jest asymptotą ukośną funkcji \(f\) w \(+\infty\) i w \(-\infty\).

Takie podejście bywa często przydatne - wystarczy jedno dzielenie wielomianów. Oczywiście jeśli funkcja nie jest wymierna, taki sposób nie zadziała. Ale... można go rozwinąć badając asymptotykę innych funkcji wymiernych. Np. funkcja \(g(x)=\dfrac{x^3}{x+1}\) ma ,,asytmptotę'' paraboliczną \(y=x^2-x+1\).