forum.zadania.info

L: \( \rr ^3 \in (x,y,z) \to (x+2y,z,2x+4y) \in \rr ^3\)
Wyznacz macierz odwzorowania L w bazach kanonicznych oraz podaj wymiary jądra i obrazu tego odwzorowania.
Wyznacz KerL oraz sprawdź, czy odwzorowanie L jest monomorfizmem.

Macierz odwzorowania ma rząd dwa. Dlatego jądro ma wymiar jeden jako zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań. Mamy takie twierdzenie, że wymiar dziedziny to wymiar jądra + wymiar obrazu. Dlatego obraz jest dwuwymiarowy. Co do wyznaczenia samej macierzy, robi się to przez zwykłe mnożenie przez kolumnę argumentów. We wzorze, jaki prezentujesz, masz kolejno wiersze tej macierzy, a dokładniej ich współczynniki.\[A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&0&1\\2&4&0\end{bmatrix}\]

A czy mógłby ktoś rozwiązać całe to zadanie, abym mógł je przeanalizować?
Byłoby mi łatwiej wtedy zrozumieć schemat takiego zadania, bo podobne może być na egzaminie.

1. Najpierw o macierzy przekształcenia.
   \((x+2y,z,2x+4y)=x(1,0,2)+y(2,0,4)+z(0,1,0)\). Stąd otrzymujemy macierz A przekształcenia L zapisując (kolumnami) otrzymane wektory.
   \[ A=\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 0&0&1\\ 2&4&0\end{bmatrix} \]
   Teraz przekształcenie L można zapisać w postaci \[L(x,y,z)=\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 0&0&1\\ 2&4&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\z\end{bmatrix} \]
2. Teraz jądro. To dość proste. Rozwiązujemy układ równań (łatwo widać skąd biorą się rownania)
   \( \begin{cases} x+ 2y=0\\ z= 0\\ 2x+ 4y= 0\end{cases} \iff x=-2y, \,\,\,y= y,\,\,\, z=0 \)
   Czyli rozwiązaniem są trójki tworzące wektor (-2y,y,0)=y(-2,1,0).
   Wszystkie te wektory tworzą przestrzeń wymiaru 1 rozpietą na wektorze (-2,1,0).
   \(Ker L=lin \left\{ (-2,1,0)\right\} \)
3. Wymiar obrazu to tak jak pisze @szw1710: dim Im = dim V - dim Ker, więc dim Im= 3-1=2
4. Ponieważ \(Ker L \neq \left\{ 0\right\}\) , więc nie jest to monomorfizm.

Mam nadzieję, że już takie zadania nie będą problemem.

Dzięki wielkie!