Strona 1 z 1
granica funkcji
: 23 gru 2008, 11:27
autor: katia
nie za bardzo wiem jak obliczyc granice
\(\lim_{x\to\0^{+}} x^{x}\)
jakby ktos mogl pomoc i wytlumaczyc dlaczego tak a nie inaczej bylabym bardzo wdzieczna
: 23 gru 2008, 21:28
autor: escher
Ponieważ mamy dodatnie x, to możemy skorzystać z tego, że \(a=e^{\ln a}\) dla dodatnich a i z tego, że funkcje \(e^x\) jest ciągła. Mamy
\(\lim_{x\to 0^+}x^x=\lim_{x\to 0^+}e^{\ln x^x}=\lim_{x\to 0^+}e^{x\ln x}=e^{\lim_{x\to 0^+}x\ln x}\)
Pozostaje zatem obliczyć \(\lim_{x\to 0^+}x\ln x\). Możemy to zrobić korzystając z reguły de l'Hospitala
\(\lim_{x\to 0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=^{\frac{\infty}{\infty}} \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}-x=0.\)
Zatem wyjściowa granica wynosi \(e^0=1\)
escher