forum.zadania.info

Zbadać całkowalność w sensie Lebesgue'a w (0,1) funkcji f, gdy
\(f(x)=2^n\), \(x \in [ \frac{1}{4^n}, \frac{1}{4^{n-1}}) \), \(n=1,2,...\)

Od czego zacząć, jakie są kroki postępowania w tym zadaniu ?

Funkcja \(f\) nie jest określona na całym przedziale \((0,1)\), więc nie jest tam całkowalna w żadnym sensie.

szw1710 pisze: ↑26 sty 2020, 22:10 Funkcja \(f\) nie jest określona na całym przedziale \((0,1)\), więc nie jest tam całkowalna w żadnym sensie.

CO to znaczy, że nie jest określona na całym przedziale ?

A co jest dziedziną funkcji, jaką podajesz?

Jak podstawie za n kolejne liczby to dziedzina zawiera się w przedziale (0,1)

Niech \(n=1.\) Ile wynosi \(f\left(\frac{1}{10}\right)\)? Aby badać całkowalność funkcji w przedziale, przede wszystkim ta funkcja musi być określona w każdym jego punkcie.

szw1710 pisze: ↑27 sty 2020, 08:27 Niech \(n=1.\) Ile wynosi \(f\left(\frac{1}{10}\right)\)? Aby badać całkowalność funkcji w przedziale, przede wszystkim ta funkcja musi być określona w każdym jego punkcie.

Wydaje mi się, że autor(ka) miał(a) na myśli \[f(x) = 2^n \iff x \in \left[\frac{1}{4^n},\frac{1}{4^{n-1}}\right) \quad n \geq 1\]
Wtedy się zgadza, a \(f(\frac{1}{10}) = 4\).

Sprawdź, że funkcja jest mierzalna, a potem po prostu policz całkę. Skorzystaj z tego, że obszar całkowania możesz podzielić na rozłączne zbiory: \[\int_{(0,1)} f(x) d\lambda = \int_{(0,1/4)} f(x) d\lambda + \int_{[1/4,1)} f(x)d\lambda = \dots\].