forum.zadania.info

Obliczyć \( \int_{C}^{} f(z) dz\), gdzie C=C(0,1)
\(f(z)= \frac{1}{z^2+2z+2} \)

Chciałam zapytać jak się w ogóle zabrać za rozwiązanie takiej całki

Przez residua

szw1710 pisze: ↑25 sty 2020, 15:28 Przez residua

to znaczy jak?

Należy znaleźć bieguny tej funkcji. W tym celu rozkładasz ją na ułamki proste pierwszego rodzaju. Biegunami będą pierwiastki mianowników. Liczysz w nich residua i podstawiasz do wzoru na całkę przez residua. Wzór znajdziesz wszędzie. Nie wiem czy tam nie będzie sytuacji, że jeden biegun jest wewnątrz krzywej, a drugi na zewnątrz. Pod uwagę bierzemy jedynie bieguny wewnątrz krzywej. Tu możesz znaleźć materiał teoretyczny.

http://www.math.uni.wroc.pl/~glowacki/wrait2/6.pdf

czyli pierwiastkami będzie \(z_1 = i-1\) lub \(z_2=-i-1\) czyli wewnątrz będzie leżał punkt \(z_1\)

i później otrzymam \( \int_{C}^{} \frac{ \frac{1}{z+(1+i)} }{z+(1-i)} \)
czyli \(f(z) = \frac{1}{z+(1+i)} \) i nasza całka będzie równa \(2 \pi i( \frac{1}{2i}) = \pi \)

mela1015 pisze: ↑25 sty 2020, 16:06 czyli pierwiastkami będzie \(z_1 = i-1\) lub \(z_2=-i-1\) czyli wewnątrz będzie leżał punkt \(z_1\)

Zależy co rozumiesz przez \(C(0,1).\)

koło o środku 0 i promieniu 1 ale w takim razie żadne z tych punktów nie będzie należało do wewnątrz

Raczej okrąg. No właśnie. Więc funkcja jest w kole holomorficzna... Pokombinuj ze wzorem całkowym Cauch'ego dla dobrze dobranej funkcji. Już coś tam masz napisane wcześniej.

Ok, ale jeśli te punkty nie należą do wnętrza tego okręgu to co mam dalej zrobić, bo nie bardzo rozumiem

Skoro nasza funkcja jest holomorficzna w całym kole jednostkowym, a nawet w kole troszkę większym, to wymyśl twierdzenia podstawowego Cauchy’ego całka po okręgu jednostkowym jest równa zero.