forum.zadania.info

\(\)Witam, potrzebuje pomocy z argumentami liczby zespolonej. Mianowicie nie wiem jak rozwiązać przykłady:
2) \(\arg(z − 1)^4 = π\)
2) Jeżeli \(z = 5 (\cos 2 − i\sin 2)\), to \( \text{Im}\,z =?,\ \arg(z^4) = ?,\ \arg(iz) =?\)

1. Skoro \(\arg(z-1)^4=\pi\), to \((z-1)^4=-y,\) gdzie \(y>0.\) Więc \(z-1=\sqrt[4]{-y}=\sqrt{4}{y}\cdot\sqrt[4]{-1}.\) Zatem \(z=1+\sqrt[4]{y}\sqrt[4]{-1}.\) Można to prościej zapisać: \(z=1+t\sqrt[4]{-1}\), gdzie \(t>0.\) Tak więc wystarczy znaleźć pierwiastki czwartego z liczby zespolonej \(-1\) (są cztery), co zrobisz ze wzoru de Moivre'a.

2. a) bezpośrednio z definicji, b) zauważ, że można zapisać \(z=5(\bigl(\cos(-2)+i\sin(-2)\bigr)\) i zwyczajnie zastosować wzór de Moivre'a, c) bezpośrednio wylicz \(iz\) i zastosuj wzór redukcyjny: \(\cos\alpha=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\) i podobny dla cosinusa.

Czyli w drugim rozumiem że mogę podać Im= sin2*5, ale nie wiem jak rozbijajać te argumenty.Czy mój tok myślenia jest słuszny ? Skoro fi to 2 to arg(z)=fi. Teraz mnożę razy 4 i wychodzi mi 4arg(z)=4fi a to jest arg(z^4) = 4 fi ? Ostatnie arg(i)+arg(z)=fi =>arg(z)=fi/2