forum.zadania.info

Obliczyć kąt pod którym wykres funkcji \(y=3+2\sin x\) przecina oś \(OY\).

Znajdź punkt przecięcia oraz równanie stycznej w tym punkcie. No i wyznacz kąt między tą styczną, a osią y.

Odpowiedź: \(\alpha=\arctg\dfrac{1}{2}.\)

Trzeba znaleźć kąt jaki tworzy styczna do wykresu funkcji \(y=3+2\sin x\) z osią OY w punkcie, w którym wykres przecina tę oś.
1. Współrzędne punktu przecięcia z osią OY: \(x=0 \So y= 3+2\sin0=3 \So (0,3)\)
2. Równanie stycznej do wykresu funkcji\( y=3+2\sin x\) w punkcie (0,3): \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0), \,\,\, f'(x)=y'=2\cos x\\ y-3=2\cos0(x-0) \iff y=2x+3\)
3. Jeśli \(\alpha\) to kąt nachylenia stycznej do osi OX, to \(\beta=90^\circ - \alpha\) jest kątem nachylenia do osi OY
4. \(\tg\alpha=2 \So \tg\beta=\tg(90^\circ - \alpha)= \frac{1}{\tg\alpha}=\frac{1}{2} \So \beta=\arctg(\frac{1}{2})\approx 27^\circ \)

Odpowiedź: Ten kąt ma miarę \(\arctg \left( \frac{1}{2} \right) \approx 27^\circ\)