forum.zadania.info

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), którego kąt przy podstawie ma miarę \( \alpha\) .
Uzasadnij że stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest mniejszy równy \(\frac{1}{2}\) .

Obliczyłem że ten stosunek wynosi \(2(1-cos \alpha ) cos \alpha \) ale jak udowodnić że jest mniejszy lub równy od \(\frac{1}{2}\)

\(0<\alpha<90^{\circ}\So \cos\alpha\in (0,1)\)
\(W=2(1-\cos\alpha)\cos \alpha=2\cos\alpha-2\cos^2\alpha\\
f(t)=2t-2t^2\;t\in (0,1)\\
p=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\\\)
f przyjmuje wartość największą równą \(\frac{1}{2}\), zatem \(W\leq\frac{1}{2}\)