Strona 1 z 1
Uzasadnij, że równanie spełnia dokładnie jedna liczba rzeczywista
: 22 sty 2020, 21:07
autor: TomaszSy
Uzasadnij, że równanie \(3x^5-10x^3+30x-10=0\) spełnia dokładnie jedna liczba rzeczywista .
Ponadto uzasadnij, że liczba ta jest pomiędzy \(0\) a \(1\).
Bardzo proszę o pomoc
Re: Uzasadnij, że równanie spełnia dokładnie jedna liczba rzeczywista
: 22 sty 2020, 21:16
autor: eresh
\(W(x)=3x^5-10x^3+30x-10\\
W'(x)=15x^4-30x^2+30\\
W'(x)=15(x^4-2x^2+30)\\\)
W'(x)>0 dla każdego x, zatem funkcja W jest rosnąca
\(\Lim_{x\to\infty}W(x)=+\infty\\
\Lim_{x\to \infty}W(x)=-\infty\)
skoro wartości funkcji rosną od \(-\infty\) do \(+\infty\), to musi mieć miejsce zerowe
W jest ciągła (bo to wielomian)
\(W(0)=-10\\
W(1)=13\)
więc na mocy twierdzenia Darboux istnieje takie \(a\in *0,1)\) że W(a)=0