Strona 1 z 1
Szeregi liczbowe
: 22 sty 2020, 18:08
autor: martikad
Proszę o wytłumaczenie zadania zbadaj zbieżność szeregu i podaj sumę.
\(
\frac{2}{1 * 3} + \frac{2}{3 * 5} -+ \frac{2}{5 * 7} +... = \sum_{ \infty }^{n = 1} \frac{2}{(2n - 1)(2n + 1)}
\frac{2}{1 * 3} + \frac{2}{3 * 5} -+ \frac{2}{5 * 7} +... = ( \frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + ( \frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}) +... + (\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}) = 1 - \frac{1}{2n - 1}
\)
S = 1
Zbieżny do 1.
Re: Szeregi liczbowe
: 22 sty 2020, 18:57
autor: eresh
a co jest niejasne?
Re: Szeregi liczbowe
: 22 sty 2020, 18:58
autor: Galen
martikad pisze: ↑22 sty 2020, 18:08
Proszę o wytłumaczenie zadania zbadaj zbieżność szeregu i podaj sumę.
\(
\frac{2}{1 * 3} + \frac{2}{3 * 5} -+ \frac{2}{5 * 7} +... = \sum_{ \infty }^{n = 1} \frac{2}{(2n - 1)(2n + 1)}
\frac{2}{1 * 3} + \frac{2}{3 * 5} -+ \frac{2}{5 * 7} +... = ( \frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + ( \frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}) +... + (\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}) = 1 - \frac{1}{2n - 1}
\)
S = 1
Zbieżny do 1.
Jeśli opuścisz nawiasy,to otrzymasz zapis w postaci
\(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\)
Po zredukowaniu wyrazów o przeciwnych znakach dostajesz sumę w postaci
\(1-\frac{1}{2n+1}\)
Jej granica
\(S= \Lim_{n\to \infty}(1-\frac{1}{2n+1})=1-\frac{1}{\infty}=1-0=1\)
Re: Szeregi liczbowe
: 22 sty 2020, 20:19
autor: martikad
Już wiem dziękuję
Re: Szeregi liczbowe
: 22 sty 2020, 20:39
autor: martikad
Galen pisze: ↑22 sty 2020, 18:58
martikad pisze: ↑22 sty 2020, 18:08
Proszę o wytłumaczenie zadania zbadaj zbieżność szeregu i podaj sumę.
\(
\frac{2}{1 * 3} + \frac{2}{3 * 5} -+ \frac{2}{5 * 7} +... = \sum_{ \infty }^{n = 1} \frac{2}{(2n - 1)(2n + 1)}
\frac{2}{1 * 3} + \frac{2}{3 * 5} -+ \frac{2}{5 * 7} +... = ( \frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + ( \frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}) +... + (\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}) = 1 - \frac{1}{2n - 1}
\)
S = 1
Zbieżny do 1.
Jeśli opuścisz nawiasy,to otrzymasz zapis w postaci
\(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\)
Po zredukowaniu wyrazów o przeciwnych znakach dostajesz sumę w postaci
\(1-\frac{1}{2n+1}\)
Jej granica
\(S= \Lim_{n\to \infty}(1- \frac{1}{2n+1})=1-\frac{1}{\infty}=1-0=1\)
Skąd się wzięło?
\( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ...
\)
Re: Szeregi liczbowe
: 22 sty 2020, 20:52
autor: eresh
\( \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} +... +\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}= \frac{3-1}{1 \cdot 3} + \frac{5-3}{3 \cdot 5} + \frac{7-5}{5 \cdot 7} +... +\frac{2n+1-2n+1}{(2n-1)(2n+1)}= \\
= \frac{3}{1 \cdot 3}-\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{5}{3 \cdot 5}-\frac{3}{3\cdot 5} + \frac{7}{5 \cdot 7}-\frac{5}{5\cdot 7} +... +\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{2n+1}= \\
=1-\frac{1}{ 3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{ 5} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} +... +\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{2n+1}
\)
Re: Szeregi liczbowe
: 22 sty 2020, 21:14
autor: martikad
Dopiero teraz doszłam do tego i patrzę że masz tak samo
Re: Szeregi liczbowe
: 22 sty 2020, 23:21
autor: martikad
martikad pisze: ↑22 sty 2020, 18:39
Proszę o wytłumaczenie zadania zbadaj zbieżność szeregu i podaj sumę.
\( \frac{1}{100} - \frac{1}{100} + \frac{1}{100} - \frac{1}{100} +... = \sum_{ \infty }^{n = 0} - \frac{1}{100 } (-1)^n
S2n = 0
S2n - 1 = \frac{1}{100}
\)
Sn nie istnieje
Skąd się wzięło to 2n?