Nierówność
: 20 sty 2020, 22:30
Pokazać, że zachodzi następująca nierówność.
\((x+ \frac{1}{x})\arctg x > 1 \) , dla \(x>0\)
\((x+ \frac{1}{x})\arctg x > 1 \) , dla \(x>0\)
Niech \(f(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\arctg x.\)
Zauważ, że nasza funkcja jest parzysta: \(f(-x)=f(x)\) Wystarczy więc ograniczyć się do \(x>0.\)
Do funkcji arcus tangens zastosujmy twierdzenie Lagrange'a dla punktów \(0\) i \(x.\) Wnosimy z niego, że \(\dfrac{\arctg x}{x}=\dfrac{1}{1+c^2}\) dla pewnego \(c\in (0,x).\) Ponieważ \(1+c^2<1+x^2,\) to\[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\arctg x=(x^2+1)\dfrac{\arctg x}{x}>\dfrac{1+x^2}{1+c^2}>1.\]