forum.zadania.info

Wyznaczyć bazę jądra i obrazu odwzorowania liniowego \(f\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^2\) określonego wzorem \(f(x,y,z)=(2x+y;x-y+z)\). Sprawdzić czy \(f\) jest (i dlaczego) monomorfizmem ,epimorfizmem lub izomorfizmem.

Jądro jest przestrzenią będącą zbiorem rozwiązań układu jednorodnego\[2x+y=0,\ x-y+z=0,\] więc \(x=t,\ y=-2t,\ z=-3t\), a zatem \((x,y,z)=t(1,-2,-3)\) i jest to podprzestrzeń jednowymiarowa, której bazą jest singleton \(\{(1,-2,-3)\}.\) Dla odwzorowania liniowego mamy twierdzenie, że wymiar dziedziny jest sumą wymiaru jądra i wymiaru obrazu. No więc obraz musi być dwuwymiarowy, a jedyną dwuwymiarową podprzestrzenią \(\Bbb R^2\) jest sama \(\Bbb R^2\) i jest to szukany obraz.

Odwzorowanie nie jest monomorfizmem, bo jądro nie jest singletonem (na zero przechodzi nieskończenie wiele wektorów). Jest epimorfizmem ze względu na jego obraz. Nie jest izomorfizmem, gdyż izomorfizm zachowuje wymiar przestrzeni.

A można ciut dokładniej wyjaśnić bo jestem na niskim poziomie z algebrą ?