forum.zadania.info

Uzasadnić mierzalność funkcji f ( względem q - ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesque'a)

Mamy \[\large f(x)=2\chi_{[1,2)}(x)+x\cdot \chi_{[2,4]\cap\Bbb{IQ}}(x).\]Oba zbiory są mierzalne, więc ich funkcje charakterystyczne są mierzalne. Kombinacja liniowa funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.

szw1710 pisze: ↑18 sty 2020, 19:40 Mamy \[\large f(x)=2\chi_{[1,2)}(x)+x\cdot \chi_{[2,4]\cap\Bbb{IQ}}(x).\]Oba zbiory są mierzalne, więc ich funkcje charakterystyczne są mierzalne. Kombinacja liniowa funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.

Skąd wiadomo, że oba zbiory są mierzalne i skąd wiadomo, że funkcje charakterystyczne są również mierzalne? Proszę o wytłumaczenie, ponieważ nie rozumiem jak sprawdzać czy funkcja jest mierzalna.

Zbiór mierzalny to inna nazwa zbioru należącego do sigma-ciała. Wszystkie występujące tu zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue'a.

Wykaż następujący lemat: niech \(\mathfrak M\) będzie sigma-ciałem podzbiorów zbioru \(X\) oraz \(A\subset X\). Funkcja \(\chi_A\) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy \(A\in\mathfrak M.\)

Mając ten lemat i twierdzenie, że iloczyn oraz kombinacja liniowa funkcji mierzalnych są funkcjami mierzalnymi, masz zadanie rozwiązane. Dla tego rodzaju funkcji, jak tu podajesz, sprawdzanie mierzalności bezpośrednio z definicji bywa kłopotliwe. Tak więc warto mieć jakieś dodatkowe narzędzia. Inaczej szorujesz korytarz szczoteczką do zębów.

Bezpośrednio z definicji łatwo wykazać lemat, który wspomniałem. I to jest jedyne potrzebne tu bezpośrednie sprawdzenie. No może jeszcze mierzalność funkcji \(h(x)=x\), ale to sprawa trywialna: dla każdego \(a\in\Bbb R\) zbiór \(\{x\colon h(x)<a\}=(-\infty,a)\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.