forum.zadania.info

Dla jakich wartości parametru m pochodna funkcji \(f(x)= \frac{1}{3} (m^2+4m-5)x^3-(m-1)x^2+(m+1)x+2m^2-7\) ma stały znak w zbiorze rzeczywistych?

\(f(x)= \frac{1}{3} (m^2+4m-5)x^3-(m-1)x^2+(m+1)x+2m^2-7\\
f'(x)=(m^2+4m-5)x^2-(2m-2)x+m+1\)
Pochodna jest więc funkcją kwadratową dla \( m\neq -5\) oraz \(m\neq1\)
Żeby miała stały znak wykres musi leżeć cały po lub cały nad osią iksów.
Myślę, że dalej dasz radę - to poziom rozszerzony, więc powinieneś sie orientować (chyba, że chcesz na kimś zrobić wrażenie )

Do tego momentu zrobiłem i dalej nie wiem za bardzo za co się zabrać.

Za \(\Delta\)-ę się zabierz
Żeby było łatwiej rozłóż współczynnik przy \(x^2\)

Dla \(m\neq1\) oraz \(m\neq-5\) rozważamy dwa przypadki:

1. wykres leży cały pod osią iksów (pochodna będzie wtedy miała znak ujemny) : \( \begin{cases} a<0\\ \Delta<0\end{cases} \)
2. wykres leży cały nad osią iksów (pochodna będzie wtedy miała znak dodatni): \( \begin{cases} a>0\\ \Delta<0\end{cases} \)

Rozwiążę pierwszy przypadek. Drugi spróbuj samodzielnie, OK?

\( \begin{cases} a<0\\ \Delta<0\end{cases} \iff \begin{cases}m^2+4m-5<0\\(2m-2)^2-4(m^2+4m-5)(m+1)<0 \end{cases} \iff \begin{cases}m\in (-5,1)\\ m\in (-3,-2) \cup (1,+ \infty ) \end{cases} \iff m\in(-3,-2)\)
Ponieważ liczby -5 i 1 nie należą do tego przedziału, więc pochodna ma stały znak (ujemny) dla \(m\in(-3,-2)\)

Szczegóły:
\( \begin{vmatrix}m^2+4m-5<0 & & (2m-2)^2-4(m^2+4m-5)(m+1)<0\\ \Delta_m=16+4 \cdot 1 \cdot 5=36 & &-4m^3-16m^2-4m+24<0 /:(-4) \\ \sqrt{\Delta}=6 & & m^3+4m^2+m-6>0\\m_1=-1,\,\,\, m_2=5& &(m+3)(m+2)(m-1)>0 \\m\in(-1,5) \textit{ patrz: rys1} &&m\in(-3,-2) \cup (1,+ \infty ) \textit{ patrz rys2 }\end{vmatrix} \\
\)



Pochodna ma stały znak (dodatni) dla \( m\in (1,+ \infty )\) (ani -5, ani 1 nie leżą w tym przedziale)
Trzeba jeszcze rozważyć przypadki \(m=-5\) oraz \(m=1\).
\(m=-5 \So f'(x)=12x-4\) i nie ma szans na stały znak
\(m=1 \So f'(x)=2>0\) ma stały znak (dodatni)

Odpowiedź: Pochodna funkcji f ma stały znak dla \(m\in (-3,-2) \cup<1,+\infty )\)