Topologia

[mela1015]

Wykazać, że metryzowalność oraz aksjomaty przeliczalności są własnościami dziedzicznymi.

Wiem, że jesli przestrzeń np (X,t1) ma jakąś własność A to każda podprzestrzeń z topologią indukowaną też ma tę własność.

Przestrzeń metryzowalna to taka gdzie można wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni.

Moje pytanie jak to zapisać symbolicznie?

[grdv10]

1. Jeśli \(\rho\) jest metryką w \(X\), a \(Y\) jest podprzestrzenią, to \(\rho\) metryką w \(Y\) zgodną z topologią tej podprzestrzeni. Wystarczy sprawdzić to na kulach.

2. Pytanie jest źle zadane, a w tej postaci teza jest fałszywa. Rozważmy \(\Bbb R\) z naturalną topologią. Jest ona oczywiście \(T_1\). Niech nasza własność \(A\) mówi, że przestrzeń jest nieprzeliczalna. Podprzestrzeń \(\Bbb N\) ma topologię dyskretną i nie jest nieprzeliczalna.

[mela1015]

2. ale czy możemy wziąć podprzestrzeń N z topologią dyskretną skoro mówimy o podprzestrzeni z topologią indukowaną?

[grdv10]

Zauważ, że topologia indukowana w \(\Bbb N\) jest dyskretna. Wystarczy otoczyć singleton \(\{n\}\) przedziałem \(\left(n-\frac{1}{2},\ n+\frac{1}{2}\right).\) Oznacza to, że singletony \(\{n\}\) są otwarte w topologii indukowanej, a zatem każdy podzbiór zbioru \(\Bbb N\) jest otwarty w topologii indukowanej.

Każda przestrzeń z topologią dyskretną jest \(T_1\), gdyż singletony są też domknięte (każdy zbiór w tej topologii jest domknięto-otwarty, czyli jednocześnie domknięty i otwarty). Co więcej, ponieważ topologię dyskretną metryzujemy metryką dyskretną, a każda przestrzeń metryczna jest normalna (\(T_4)\), to przestrzeń dyskretna jest normalna.

[mela1015]

Ok, już rozumiem, a czy brzegowość i nigdziegęstość są własnościami dziedzicznymi?

[grdv10]

Zbiór brzegowy to zbiór o pustym wnętrzu. Powiedzmy, że mamy zbiór niepusty. Jako cała przestrzeń jest zbiorem otwartym, więc ma wnętrze niepuste. Jak więc wyobrażasz sobie przestrzeń brzegową? Nie możemy jej mylić ze zbiorem brzegowym.

Podobna uwaga odnosi się do nigdziegęstości.

Własności, które miałyby (lub nie) przenosić się na podprzestrzenie są typu posiadanie bazy przeliczalnej, zwartość, metryzowalność, ośrodkowość itp. itd.

Np. zwartość nie jest własnością dziedziczną. Podprzestrzeń przestrzeni zwartej nie musi być zwarta. Natomiast podprzestrzeń domknięta przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą.