Topologia

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 367
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 190 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Topologia

Post autor: mela1015 » 11 sty 2020, 16:14

Wykazać, że metryzowalność oraz aksjomaty przeliczalności są własnościami dziedzicznymi.

Wiem, że jesli przestrzeń np (X,t1) ma jakąś własność A to każda podprzestrzeń z topologią indukowaną też ma tę własność.

Przestrzeń metryzowalna to taka gdzie można wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni.

Moje pytanie jak to zapisać symbolicznie?

Awatar użytkownika
szw1710
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 104
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 24 razy
Płeć:

Re: Topologia

Post autor: szw1710 » 11 sty 2020, 17:23

1. Jeśli \(\rho\) jest metryką w \(X\), a \(Y\) jest podprzestrzenią, to \(\rho\) metryką w \(Y\) zgodną z topologią tej podprzestrzeni. Wystarczy sprawdzić to na kulach.

2. Pytanie jest źle zadane, a w tej postaci teza jest fałszywa. Rozważmy \(\Bbb R\) z naturalną topologią. Jest ona oczywiście \(T_1\). Niech nasza własność \(A\) mówi, że przestrzeń jest nieprzeliczalna. Podprzestrzeń \(\Bbb N\) ma topologię dyskretną i nie jest nieprzeliczalna.
Ostatnio zmieniony 11 sty 2020, 17:42 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
Profil na e-korepetycje.net
Zapraszam też na mój blog ,,Być matematykiem''.

mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 367
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 190 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Topologia

Post autor: mela1015 » 11 sty 2020, 17:38

2. ale czy możemy wziąć podprzestrzeń N z topologią dyskretną skoro mówimy o podprzestrzeni z topologią indukowaną?

Awatar użytkownika
szw1710
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 104
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 24 razy
Płeć:

Re: Topologia

Post autor: szw1710 » 11 sty 2020, 17:42

Zauważ, że topologia indukowana w \(\Bbb N\) jest dyskretna. Wystarczy otoczyć singleton \(\{n\}\) przedziałem \(\left(n-\frac{1}{2},\ n+\frac{1}{2}\right).\) Oznacza to, że singletony \(\{n\}\) są otwarte w topologii indukowanej, a zatem każdy podzbiór zbioru \(\Bbb N\) jest otwarty w topologii indukowanej.

Każda przestrzeń z topologią dyskretną jest \(T_1\), gdyż singletony są też domknięte (każdy zbiór w tej topologii jest domknięto-otwarty, czyli jednocześnie domknięty i otwarty). Co więcej, ponieważ topologię dyskretną metryzujemy metryką dyskretną, a każda przestrzeń metryczna jest normalna (\(T_4)\), to przestrzeń dyskretna jest normalna.
Profil na e-korepetycje.net
Zapraszam też na mój blog ,,Być matematykiem''.

mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 367
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 190 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Topologia

Post autor: mela1015 » 11 sty 2020, 17:59

Ok, już rozumiem, a czy brzegowość i nigdziegęstość są własnościami dziedzicznymi?

Awatar użytkownika
szw1710
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 104
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 24 razy
Płeć:

Re: Topologia

Post autor: szw1710 » 11 sty 2020, 18:08

Zbiór brzegowy to zbiór o pustym wnętrzu. Powiedzmy, że mamy zbiór niepusty. Jako cała przestrzeń jest zbiorem otwartym, więc ma wnętrze niepuste. Jak więc wyobrażasz sobie przestrzeń brzegową? Nie możemy jej mylić ze zbiorem brzegowym.

Podobna uwaga odnosi się do nigdziegęstości.

Własności, które miałyby (lub nie) przenosić się na podprzestrzenie są typu posiadanie bazy przeliczalnej, zwartość, metryzowalność, ośrodkowość itp. itd.

Np. zwartość nie jest własnością dziedziczną. Podprzestrzeń przestrzeni zwartej nie musi być zwarta. Natomiast podprzestrzeń domknięta przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą.
Profil na e-korepetycje.net
Zapraszam też na mój blog ,,Być matematykiem''.