Strona 1 z 1
Rozwiąż równanie
: 08 sty 2020, 23:46
autor: lolipop692
\( \log _{x}2+log_{8x}2=log_{4x}4\)
Re: Rozwiąż równanie
: 09 sty 2020, 00:08
autor: grdv10
Robimy założenia o podstawach logarytmów (jakie?). Następnie korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu tak, aby mieć wszędzie wspólną podstawę \(2\), a jeszcze lepiej, żeby w równaniu występowała tylko liczba \(\log_2x.\) Wtedy wstawiamy nową zmienną, \(t=\log_2x.\) Dojdziemy do równania \(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{3+t}=\dfrac{2}{2+t}.\)
Odp. \(x=\frac{1}{64}\)
Re: Rozwiąż równanie
: 09 sty 2020, 00:14
autor: panb
Wzory:
\(\log_ab= \frac{1}{\log_ba} \) (z wzoru na zmianę podstawy logarytmu)
Wobec tego zadanie będzie wyglądało tak:
\( \frac{1}{\log_2x} + \frac{1}{\log_2(8x)} = \frac{1}{\log_4(4x)} \iff \frac{1}{\log_2x} + \frac{1}{\log_2x+3} = \frac{2}{\log_2x+2} ,\,\,\, x\in \rr_+ \bez \left\{ \frac{1}{8} , \frac{1}{4} , 1\right\} \)
Podstawiając
\( \log_2x =t \) otrzymujemy równanie:
\[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t+3} = \frac{2}{t+2} \]
Rozwiązaniem tego równania jest t=-6, więc
Odpowiedź: \(x= \frac{1}{64}\)