Strona 1 z 1
Pochodne, wzór trapezu
: 07 sty 2020, 18:43
autor: Janek9003
Mam do rozwiązania pewien problem optymalizacyjny, ale wszystkie problemy leżą w warstwie analitycznej.
Istnieje trapez równoramienny o krótszej podstawie i ramionach o długości 10, i dłuższej podstawie x.
Jego polem będzie \( \frac{((x+10) \sqrt{100-(\frac{10-x}{2})^2} }{2} \).
1.I tutaj potrzebuję pierwszej i drugiej pochodnej. O ile da się to wszystko wrzucić pod jeden pierwiastek i policzyć tą pochodną, to obliczenie drugiej wydaje się być bardzo karkołomnym zadaniem. Czy ktoś byłby w stanie jakoś ładnie to rozpisać i opisać zastosowane metody?
2. Druga sprawa, można zastosować inny wzór żeby w zasadzie strywializować zadanie, ale problem jest taki, że nie znam takiego wzoru. Podobno można użyć sinusa/cosinusa i jednocześnie nie dodać nowej zmiennej kąta (dalej będzie to funkcja \(f(x)\)). Czy ktoś ma pomysł jak to zrobić?
Re: Pochodne, wzór trapezu
: 07 sty 2020, 18:48
autor: patryk00714
Możesz przytoczyć wyprowadzenie wzoru na to pole?
Re: Pochodne, wzór trapezu
: 09 sty 2020, 22:36
autor: Janek9003
patryk00714 pisze: ↑07 sty 2020, 18:48
Możesz przytoczyć wyprowadzenie wzoru na to pole?
Pole trapezu to
\( \frac{(a+b)*h}{2} \). Dłuższa podstawa to
\(x\), górna to
\(10\).
\(a+b = x+10\).
\(h\) wyprowadzamy z pitagorasa.
\( (\frac{x-10}{2})^2 + h^2 = 100\). Wyliczamy
\(h\) i wstawiamy do wzoru.
W temacie mam błąd, pisałem bez patrzenia na polecenie.
\(x\) i
\(10\) zamienione miejscami.
Re: Pochodne, wzór trapezu
: 09 sty 2020, 23:50
autor: Galen
Wzór na pole trapezu:
\(P(x)= \frac{1}{2}(x+10)\cdot\sqrt{\frac{400-(x-10)^2}{4}}\\P(x)= \frac{1}{4}(x+10) \sqrt{300+20x-x^2}\)
\(P'(x)= \frac{1}{4} [\sqrt{300+20x-x^2}+(x+10)\cdot \frac{20-2x}{2 \sqrt{300+20x-x^2} }]\)
\(P'(x)=0\)
\(\sqrt{300+20x-x^2}+\frac{(10+x)(10-x)}{\sqrt{300+20x-x^2}}=0\;/\cdot\sqrt{}\)
\((300+20x-x^2)+(100-x^2)=0\;\;\;\;\;\;\;\)
Trzeba zastosować wzór na pochodną funkcji złożonej...\((\sqrt{f(x)})'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\)
Możesz przyjąć inną zmienną...
\(a=x+10+x\\b=10\\h=\sqrt{10^2-x^2}\\P=....\)
Otrzymasz x=5.
Wtedy a=20
b=10
h=pierwiastek z 75
Re: Pochodne, wzór trapezu
: 10 sty 2020, 10:50
autor: Jerry
Janek9003 pisze: ↑07 sty 2020, 18:43
Podobno można użyć sinusa/cosinusa i jednocześnie nie dodać nowej zmiennej kąta (dalej będzie to funkcja
\(f(x)\)). Czy ktoś ma pomysł jak to zrobić?
Czy chodzi Ci o:
Niech
\(x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) będzie kątem ostrym trapezu.
Wtedy
\(h=10\sin x\wedge a=10+2\cdot 10 \cos x\) oraz
\(f(x)=10(\cos x+1)\sin x\)
Pozdrawiam
Re: Pochodne, wzór trapezu
: 11 sty 2020, 12:09
autor: Janek9003
Jeśli chodzi o te pochodne do dalej jestem w tym samym miejscu, bo wzory znam, tylko jest to niesamowicie trudna funkcja, i po policzeniu pierwszej pochodnej wychodzi mi funkcja długa na 1,5 linijki, i nie za bardzo uśmiecha mi się liczenie drugiej. Wydaje mi się że po prostu muszę próbować do oporu. Aczkolwiek wprowadzenie innej zmiennej powinno ułatwić życie.
Co do tego drugiego wzoru - nie do końca rozumiem skąd się wziął, i po podstawieniu 10 wynik to 3,4, a ze wzoru zwykłego 55.
Re: Pochodne, wzór trapezu
: 11 sty 2020, 19:26
autor: Janek9003
Jerry pisze: ↑10 sty 2020, 10:50
Janek9003 pisze: ↑07 sty 2020, 18:43
Podobno można użyć sinusa/cosinusa i jednocześnie nie dodać nowej zmiennej kąta (dalej będzie to funkcja
\(f(x)\)). Czy ktoś ma pomysł jak to zrobić?
Czy chodzi Ci o:
Niech
\(x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) będzie kątem ostrym trapezu.
Wtedy
\(h=10\sin x\wedge a=10+2\cdot 10 \cos x\) oraz
\(f(x)=10(\cos x+1)\sin x\)
Pozdrawiam
Udało mi się zrozumieć
\(h\) oraz
\(a\), aczkolwiek po podstawieniu do wzoru wychodzi
\(100\sin{x}+100\sin{x}\cos{x}\).
Re: Pochodne, wzór trapezu
: 11 sty 2020, 20:42
autor: Jerry
Masz rację... trafił mi się bad-click i nie zauważyłem...
Pozdrawiam
Re: Pochodne, wzór trapezu
: 12 sty 2020, 20:05
autor: Janek9003
Sam pomysł w każdym razie działa, więc dzięki za pomoc.
Co prawda dalej nie policzyłem pochodnej z tego pierwszego wzoru, ale to raczej zadanie zaprojektowane z myślą o użyciu innej zmiennej niż \(x=a\).