forum.zadania.info

Podaj przykład homografii przekształcającej :
a) dolna półpłaszczyznę zespolona na lewą półpłaszczyznę zespoloną
b) dolna półpłaszczyznę zespolona na koło jednostkowe
c) koło jednostkowe na prawa półpłaszczyznę zespoloną

Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, poda ktoś jakieś wskazówki ?

ad 2. W dolnej półpłaszczyźnie leżą punkty bliższe \(-i\) niż \(i.\) Oznacza to, że spełniają one nierówność \(|z+i|\leqslant |z-i|.\) Po podzieleniu mamy \(\left|\dfrac{z+i}{z-i}\right|\leqslant 1,\) więc szukaną homografią może być \(h(z)=\dfrac{z+i}{z-i}.\)

Jak to wymyśliłem? Otóż masz w książce Krysickiego takie zadania: narysuj zbiór punktów \(z\) spełniających nierówność \(|z-z_1|\leqslant|z-z_2|.\) Liczba \(|z-z_1|\) wyraża odległość \(z\) od \(z_1.\) Ewidentnie ta nierówność wiąże się z symetralną odcinka o końcach \(z_1,z_2\), na której są równe odległości. Nierówność masz w jednej z półpłaszczyzn. No więc widzisz, że dolna półpłaszczyzna ma krawędź będącą osią \(x\). Wystarczy więc znaleźć sobie dwa punkty symetryczne względem niej. Padło na \(\pm i\), bo to najłatwiej. Wniosek - tego rodzaju homografii mamy nieskończenie wiele.

ad 3. Podobny numer z symetralną odcinka. Tylko zacznij od homografii przekształcającej półpłaszczyznę na koło i znajdź homografię odwrotną.