forum.zadania.info

obliczyć \(z= \frac{2+3i}{1-i} \) i podać interpretację geometryczną , postać trygonometryczną i wykładniczą.
Obliczyłem z i wyszło mi \(z= \frac{-1}{2} + \frac{5}{2}\)i a interpretacją geometryczną będzie punkt prawda?
postać trygonometryczna mi nie wychodzi bo |z| wyszedł mi \(\frac{ \sqrt{26} }{2} \) i nie wiem jak zrobić wykładniczą.
Proszę o pomoc.

Postać algebraiczna i interpretacja graficzna - OK.

• Jeśli chodzi o postać trygonometryczną, to \(z= \frac{\sqrt{26}}{2} \left(- \frac{1}{\sqrt{26}}+i \frac{5}{\sqrt{26}} \right) \) (po prostu wyłączyłem |z| przed nawias)
• Kąt \(\varphi\), czy jak go tam zwał, do postaci wykładniczej można zapisać w postaci \(\varphi=\pi-\arctg 5\).
  Wtedy \[z=e^{i(\pi-\arctg5)}= \frac{e^{i\pi}}{e^{i\arctg5}}=-e^{-i\arctg5} \]
  
  Jeśli chcesz to policzyć (choć to nierozsądne), to można to zrobić tak:
  \(Arg (z)=\theta =\pi-\arcsin \left(\frac{5}{\sqrt{26}} \right)\approx 1,768 \approx 101,31^ \circ \)
  \(\sin\theta = \frac{5}{\sqrt{26}},\,\,\, \cos\theta=-\cos \left[\arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{26}} \right) \right]=-\sqrt{ 1- \frac{25}{26} } =-\sqrt{ \frac{1}{26} } \), więc \[z= \frac{\sqrt{26}}{2} \left( -\sqrt{ \frac{1}{26} }+i \frac{5}{\sqrt{26}}\right) \]

Jak widać wynik ten sam.

Odpowiedź: \(\text{Postać trygonometryczna: } \,\,\,z=\frac{\sqrt{26}}{2} \left( -\sqrt{ \frac{1}{26} }+i \frac{5}{\sqrt{26}}\right) \approx\frac{\sqrt{26}}{2} \left( \cos(1,768)+i\sin(1,768)\right)\\ \text{Postać wykładnicza: } \,\,\,z=-e^{-i\arctg5}\)