Optymalizacja, wektor mnożników Lagrange'a
: 20 lis 2019, 19:03
Znajdź rozmiar prostokątnej wanny, która przy danej objętości V ma najmniejszą powierzchnie.
Zadanie dziwnie sformułowane więc zakładam prostopadłościenną wannę, i liczę powierzchnie zewnętrzną.
\(L(x,y,z,\lambda) = 2xy + 2yz + xz + \lambda(xyz - V)\)
\(Q'_x = 2y + z + \lambda yz\)
\(Q'_y = 2x + 2z + \lambda xz\)
\(Q'_z = 2y + x + \lambda xy\)
\(Q'_\lambda = xyz - V\)
I tu jest w zasadzie problem. Można przemnożyć równania po kolei przez \(x\), \(y\), \(z\), i wtedy pozbędę się lambdy w pierwszym i drugim równaniu, ale nie ma szans żeby pozbyć się z trzeciego równania. Symbolab mi się na tym sypie, a Wolfram podał wyniki zespolone. Nie jest to zadanie z najwyższej półki, ale jednak nie mam pomysłu co tutaj zrobić.
Z góry dzięki za pomoc.
Edit
Losowo odejmując od siebie równania wyszło mi:
\(x = 2\sqrt[3]{\frac{V}{4}}\)
\(y = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}\)
\(z = 2\sqrt[3]{\frac{V}{4}}\)
Co sprawdzając z jakimś losowym zadaniem z internetu o podobnej treści lecz o podanym V daje wynik identyczny, więc obstawiam, że jest dobrze. Czyli po prostu nie ma co się poddawać tylko próbować, bo takie z góry wymyślone zadania są obliczalne.
Temat można zostawić, wyniki przydadzą się potomnym.
Zadanie dziwnie sformułowane więc zakładam prostopadłościenną wannę, i liczę powierzchnie zewnętrzną.
\(L(x,y,z,\lambda) = 2xy + 2yz + xz + \lambda(xyz - V)\)
\(Q'_x = 2y + z + \lambda yz\)
\(Q'_y = 2x + 2z + \lambda xz\)
\(Q'_z = 2y + x + \lambda xy\)
\(Q'_\lambda = xyz - V\)
I tu jest w zasadzie problem. Można przemnożyć równania po kolei przez \(x\), \(y\), \(z\), i wtedy pozbędę się lambdy w pierwszym i drugim równaniu, ale nie ma szans żeby pozbyć się z trzeciego równania. Symbolab mi się na tym sypie, a Wolfram podał wyniki zespolone. Nie jest to zadanie z najwyższej półki, ale jednak nie mam pomysłu co tutaj zrobić.
Z góry dzięki za pomoc.
Edit
Losowo odejmując od siebie równania wyszło mi:
\(x = 2\sqrt[3]{\frac{V}{4}}\)
\(y = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}\)
\(z = 2\sqrt[3]{\frac{V}{4}}\)
Co sprawdzając z jakimś losowym zadaniem z internetu o podobnej treści lecz o podanym V daje wynik identyczny, więc obstawiam, że jest dobrze. Czyli po prostu nie ma co się poddawać tylko próbować, bo takie z góry wymyślone zadania są obliczalne.
Temat można zostawić, wyniki przydadzą się potomnym.