forum.zadania.info

Na obwodzie koła (na okręgu) o promieniu i środku w początku układu współrzędnych wybrano losowo jeden punkt. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rzut wylosowanego punktu na oś OX będzie odległy od początku układu współrzędnych o nie więcej niż \(r\) ( \( 0 < r < 1\) ).
Poproszę o jakieś wskazówki.

O jakim promieniu?

Trzeba długość czerwonych łuków podzielić przez długość całego okręgu. Nie znam promienia (1?, r?) więc to tyle.

panb pisze: ↑16 lis 2019, 21:19 O jakim promieniu?

o promieniu równym 1
(przepraszam, przypadkiem mi ominęło tę informację)

panb pisze: ↑16 lis 2019, 21:39 Trzeba długość czerwonych łuków podzielić przez długość całego okręgu. Nie znam promienia (1?, r?) więc to tyle.

tak, wiem
ale z powodu, że \(r\) zmienia swoją wartość, mam problem z obliczeniem długości tych łuków

Można skorzystać z całki. To są 4 takie łuki jak ten \(0\le x \le r\).
Górny półokrąg ma równanie \(y=\sqrt{1-x^2} \So y'=- \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \).
Długość tego łuku, to \(\int_{0}^{r} \sqrt{1+(y')^2}dx = \int_{0}^{r} \sqrt{1+ \frac{x^2}{1-x^2} }dx= \int_{0}^{r} \ \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\arcsin r \)
Wobec tego cały czerwony obszar ma długość \(4\arcsin r\). Dalej już poleci ...