forum.zadania.info

Dzień dobry.
Czy byłby ktoś w stanie rozwiązać zad.1 dotycxące szeregu Fouriera?

\(f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \left(a_n\cos \left( \frac{2\pi n}{T}x \right)+b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}x \right) \right) \), gdzie
\[T=2\pi, \,\,\, f(x)=|x|,\,\,\, x\in [-\pi, \pi]\\
a_n=\frac{2}{\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\cos \left( \frac{2\pi n}{T}x \right)dx, \,\, n=0, 1, 2, 3, \ldots\\
b_n=\frac{2}{\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin \left( \frac{2\pi n}{T}x \right)dx, \,\, n=1, 2, 3, \ldots\]
Ponieważ funkcja f jest parzysta, więc \(b_n=0, \,\, n=1, 2, 3, \ldots\)

\(a_0=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|dx =\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{0}-xdx+\frac{1}{\pi} \ \int_{0}^{\pi}xdx=\pi\\
a_1=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos x dx=-4\\
a_2=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(2x)dx=0\\
a_3=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(3x)dx=-\frac{4}{9}\\
a_4=0\\
a_5=\frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(5x)dx=-\frac{4}{25}=-\frac{4}{5^2}\\
\ldots\\
a_0=\pi, \,\,\, a_{2n}=0, \,\,\, a_{2n-1}=-\frac{4}{(2n-1)^2} \text{ dla } n=1, 2, 3, ...\)

Zatem \(|x|= \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2} \text{ dla } x\in [-\pi, \pi]\)