Udowodnij,że
: 12 paź 2019, 20:36
Udowodnij,że jeśli \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym i każdy jego wyraz jest różny od 0, to: \(\frac{1}{a_1*a_2}+ \frac{1}{a_2*a_3} +...+ \frac{1}{a_{(n-1)}*a_n} = \frac{n-1}{a_1*a_n} \)
indukcyjnie:
dla n=2
\(L=\frac{1}{a_1 \cdot a_2}\)
\(P=\frac{2-1}{a_1 \cdot a_2}\)
\(L=P\)
założenie indukcyjne:
istnieje n, t.ze \(\frac{1}{a_1 \cdot a_2}+ \frac{1}{a_2 \cdot a_3} +...+ \frac{1}{a_{n-1} \cdot a_n} = \frac{n-1}{a_1 \cdot a_n} \)
teza \(\frac{1}{a_1 \cdot a_2}+ \frac{1}{a_2 \cdot a_3} +...+ \frac{1}{a_{(n-1)} \cdot a_n} +\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}= \frac{n}{a_1 \cdot a_{n+1}} \)
dowód
\(L=\frac{1}{a_1 \cdot a_2}+ \frac{1}{a_2 \cdot a_3} +...+ \frac{1}{a_{n-1} \cdot a_n} +\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}=\frac{n-1}{a_1 \cdot a_n} +\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}=\frac{(n-1)\cdot a_{n+1}}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}} +\frac{a_1}{a_1 \cdot a_{n} \cdot a_{n+1}}=\frac{(n-1)\cdot a_{n+1}}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}} +\frac{a_1}{a_1 \cdot a_{n} \cdot a_{n+1}}=\\
\frac{(n-1)\cdot a_{n+1}+a_1}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}}=\frac{n\cdot a_{n+1}-a_{n+1}+a_1}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}}=\frac{n\cdot a_{n}+nr-a_{1}-nr+a_1}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}}=\frac{n\cdot a_{n}}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}}= \frac{n}{a_1 \cdot a_{n+1}}=P\)