forum.zadania.info

Witam, staram się zrozumieć pojęcie elementów pierwotnych (prymitywnych). Rozumiem w jaki sposób wylicza się ich ilość, korzystając funkcji Eulera, jednak nie wiem czy dalsze postępowanie jest dla mnie jasne. Znajdujemy element taki, który po podniesieniu kolejno do większych potęg będzie spełniał naszą grupę? nie rozumiem tego elementu rozwinięcia ciała (przedstawienia w postaci zbioru).
Czy mógłby ktoś przedstawić mi to zjawisko na przykładzie np. \[Z^{*}_{31}\]
Z góry dziękuję za pomoc!

"Znajdujemy element taki, który po podniesieniu kolejno do większych potęg będzie spełniał naszą grupę?" - nie do końca rozumiem co oznacza sformułowanie "spełniać grupę". Chodzi o to, że szukamy elementu \(g \in \mathbb{Z}^{*}_{n}\), takiego, że potęgując go, otrzymamy całą grupę. W \(\mathbb{Z}^{*}_{31}\) mamy 30 elementów, więc jako przykład wezmę nieco mniejsze \(\mathbb{Z}^{*}_{7}\).
Nasza grupa składa się z elementów: \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Rozważmy \(2^n \mod 7\): kolejno 2 (2 mod 7), 4 (4 mod 7), 1 (8 mod 7), 2 (16 mod 7) i dalej wpadamy w cykl. W potęgach \(2^n\) (mod 7 oczywiście) nie pojawia się zatem 3, 5 ani 6.
Rozważmy \(3^n \mod 7\): 3, 2, 6, 4, 5, 1 - voilla, licząc \(3^n \mod 7\) otrzymujemy całą grupę, zatem jest to element pierwotny, inaczej generator grupy.