Elementy Pierwotne (prymitywne)

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Dawid99
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 02 sty 2018, 18:04
Płeć:

Elementy Pierwotne (prymitywne)

Post autor: Dawid99 » 07 wrz 2019, 12:53

Witam, staram się zrozumieć pojęcie elementów pierwotnych (prymitywnych). Rozumiem w jaki sposób wylicza się ich ilość, korzystając funkcji Eulera, jednak nie wiem czy dalsze postępowanie jest dla mnie jasne. Znajdujemy element taki, który po podniesieniu kolejno do większych potęg będzie spełniał naszą grupę? nie rozumiem tego elementu rozwinięcia ciała (przedstawienia w postaci zbioru).
Czy mógłby ktoś przedstawić mi to zjawisko na przykładzie np. \[Z^{*}_{31}\]
Z góry dziękuję za pomoc!

pdesant
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 15 lip 2018, 18:15

Re: Elementy Pierwotne (prymitywne)

Post autor: pdesant » 05 paź 2019, 12:28

"Znajdujemy element taki, który po podniesieniu kolejno do większych potęg będzie spełniał naszą grupę?" - nie do końca rozumiem co oznacza sformułowanie "spełniać grupę". Chodzi o to, że szukamy elementu \(g \in \mathbb{Z}^{*}_{n}\), takiego, że potęgując go, otrzymamy całą grupę. W \(\mathbb{Z}^{*}_{31}\) mamy 30 elementów, więc jako przykład wezmę nieco mniejsze \(\mathbb{Z}^{*}_{7}\).
Nasza grupa składa się z elementów: \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Rozważmy \(2^n \mod 7\): kolejno 2 (2 mod 7), 4 (4 mod 7), 1 (8 mod 7), 2 (16 mod 7) i dalej wpadamy w cykl. W potęgach \(2^n\) (mod 7 oczywiście) nie pojawia się zatem 3, 5 ani 6.
Rozważmy \(3^n \mod 7\): 3, 2, 6, 4, 5, 1 - voilla, licząc \(3^n \mod 7\) otrzymujemy całą grupę, zatem jest to element pierwotny, inaczej generator grupy.