Objętość walca

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
cela353
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 03 wrz 2019, 11:37

Objętość walca

Post autor: cela353 » 06 wrz 2019, 19:44

W półkole o promieniu R=2 wpisano walec o największej objętości. Znaleźć wymiary tego walca.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16707
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7052 razy
Płeć:

Re: Objętość walca

Post autor: radagast » 06 wrz 2019, 20:51

W figurę płaską nie da się wpisać figury trójwymiarowej . Zatem co masz na myśli pisząc "wpisano" ?

Galen
Guru
Guru
Posty: 18194
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9032 razy

Re: Objętość walca

Post autor: Galen » 06 wrz 2019, 22:06

Domyślam się,że w półkulę o promieniu R=2 wpisano walec...
Narysuj półkulę i walec wpisany.(podstawa walca jest kołem współśrodkowym z podstawą półkuli i ma promień r<2)
Wysokość walca h<2
Odcinek łączący środek podstawy półkuli z dowolnym punktem na brzegu górnej podstawy walca jest równy promieniowi R=2.
\(r^2+h^2=R^2\\r^2+h^2=2^2\\r^2=4-h^2\\V_{walca}=\pi r^2 h=\pi (4-h^2) h\\V_{walca}=\pi\cdot 4h-\pi\cdot h^3\)
Funkcja V(h)
\(V(h)=-\pi h^3+4 \pi h\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;h\in (0;2)\\V'(h)=-3\pi h^2+4\pi\\V'(h)=0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;-3h^2+4=0\\h^2=\frac{4}{3}\\h=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
Pochodna zmienia znak z + na minus,czyli funkcja ma max.
\(r=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.