forum.zadania.info

Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{2} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{3} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.

poetaopole pisze: ↑31 sie 2019, 14:13 Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{2} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{3} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.

Chyba błąd w treści:
Sześcian w podstawie ma kwadrat o boku a. Jego przekątna nie może mieć długości \(a\sqrt{3}\)

No tak, zaraz postaram się poprawić treść zadania

Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość \(a \sqrt{3} \), a przekątna jego podstawy ma długość \(a \sqrt{2} \). Uzasadnij, że jeśli długość przekątnej sześcianu jest liczba wymierną, to długość przekątnej podstawy jest liczba niewymierną.

No to tak:
załóżmy , że \(a \sqrt{3}= \frac{p}{q} \) przy czym \(p,q \in N \)
wtedy \(a \sqrt{2} = \frac{p \sqrt{2} }{q \sqrt{3}}= \frac{p}{q} \sqrt{6} \)
Jeśli byłaby to liczba wymierna to \(\frac{p}{q} \sqrt{6}= \frac{r}{s} \) przy czym \( r,s \in N \)
czyli \( \sqrt{6}ps =rq\)
czyli \(2 \cdot 3 p^2s^2=r^2q^2\)
rozważmy liczbę dwójek występujących w rozkładzie na czynniki lewej strony powyższej równości : jest nieparzysta
rozważmy liczbę dwójek występujących w rozkładzie na czynniki prawej strony powyższej równości : jest parzysta
-sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze, co oznacza , że \(a \sqrt{2} \) jest liczbą niewymierną
cbdo