forum.zadania.info

\(

f(x) = \frac{\pi}{4}, x \in \left(0, \pi \right)
\)
Po rozwinięciu w szereg Fouriera mam:
\(
f(x) = - \frac{1}{2} \sum_{1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \left( \left( -1\right)^n - 1\right) \sin \left( nx\right)
\)

Szereg, którego sume trzeba obliczyć:
\(
1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ...
\)

\(
x = \frac{\pi}{2}\\

\frac{\pi}{4} = - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \left( \left( -1\right)^n - 1\right) \left( -1\right)^{n+1} \\
\frac{\pi}{2} = - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \left( \left( -1\right)^{2n+1} + \left( -1\right)^{n+2}\right) \\
\frac{\pi}{2} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \left( \left( -1\right)^{2n+2} + \left( -1\right)^{n+3}\right) \\
\frac{\pi}{2} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \left( 1 + \left( -1\right)^{n+1}\right) \\

\)

Co teraz? Jak z tego wybrać sobie nieparzyste 'n-ki' ? Oraz jak to zapisać :/
(szereg Fouriera jest dobry, zgadza się z odpowiedziami)

Nie wiem czy o to ci chodzi, ale ale rozwinięcie w szereg Fouriera można zapisać tak:
\(f(x)=- \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \left((-1)^n-1 \right) \sin{nx} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin((2n-1)x)}{2n-1} \) To co dalej zapisujesz już nie daje dobrego rezultatu, bo \(\sin \frac{n\pi}{2} \neq (-1)^{n+1}\)
Teraz
\[f \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4}= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin \left( \frac{(2n-1)\pi}{2} \right) }{2n-1} = \frac{\sin \frac{\pi}{2} }{1}+ \frac{\sin \frac{3}{2}\pi }{3} + \frac{\sin \frac{5}{2}\pi }{5}+ \frac{\sin \frac{7}{2}\pi }{7} +\ldots =1- \frac{1}{3} + \frac{1}{5}- \frac{1}{7}+\ldots \]