forum.zadania.info

Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów

\( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \sin ( \tg \frac{1}{n} )\)

\(\sum_{ n=1 }^{ \infty } \tg \frac{ \pi }{4^n}\)

\( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{x}) \)

\( \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{n+1}{n^2-n} \)

Zupełnie nie mam pojęcia jak podejść do tych przykładów. Z góry dziękuje za pomoc

Tofield pisze: ↑13 sie 2019, 00:18 Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów

\( \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{n+1}{n^2-n} \)

\( \frac{n+1}{n^2-n} \ge \frac{1}{n} \)
czyli \( \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{n+1}{n^2-n} \) jest rozbieżny, bo \( \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{1}{n} \) jest rozbieżny

Tofield pisze: ↑13 sie 2019, 00:18 Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów

\( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{x}) \)

przypuszczam, że miało być:
\( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n}) \)
i wówczas
\( \ln (1+ \frac{1}{n}) <\frac{1}{n}\)
zatem
\( \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n})< \frac{1}{n^2}\)
czyli \( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \ln (1+ \frac{1}{n}) \) jest zbieżny, bo \( \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n^2} \) jest zbieżny
Tak to działa