Oblicz całkę

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 126
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 10 razy
Płeć:

Oblicz całkę

Post autor: Robakks » 22 lip 2019, 14:16

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\ln{\left(\sin{x}\right)}\ln{\left(\cos{x}\right)}}{\tan{\left(x\right)}}\mbox{d}x}\\
t=-\ln{\left(\sin{x}\right)}\\
\mbox{d}t=-\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\mbox{d}x\\
\int_{\infty}^{0}{\left(-t\right)\ln{\left(\sqrt{1-e^{-2t}}\right)}\left(-\mbox{d}t\right)}\\
\int_{0}^{\infty}{\left(-t\right)\ln{\left(\sqrt{1-e^{-2t}}\right)}\mbox{d}t}\\
-\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{t\ln{\left(1-e^{-2t}\right)}\mbox{d}t}\\
\)


\(
-\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{t\ln{\left(1-e^{-2t}\right)}\mbox{d}t}=\begin{vmatrix}u=\ln{\left(1-e^{-2t}\right)} & \mbox{d}v=-\frac{1}{2}t\mbox{d}t\\\mbox{d}u=\frac{2e^{-2t}}{1-e^{-2t}}\mbox{d}t & v=-\frac{1}{4}t^2\end{vmatrix}\\=
\lim_{t\to\infty}{-\frac{1}{4}t^2\ln{\left(1-e^{-2t}\right)}}-\lim_{t\to 0}{-\frac{1}{4}t^2\ln{\left(1-e^{-2t}\right)}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{\frac{t^2e^{-2t}}{1-e^{-2t}}\mbox{d}t}\\
=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{\sum_{n=1}^{\infty}{t^2e^{-2nt}}\mbox{d}t}\\
\)



\(
=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{t^2e^{-2nt}\mbox{d}t}}\\
\int_{0}^{\infty}{t^2e^{-2nt}\mbox{d}t}=\begin{vmatrix}u=t^2 & \mbox{d}v=e^{-2nt}\mbox{d}t \\ \mbox{d}u=2t\mbox{d}t & v=-\frac{1}{2n}e^{-2nt}\end{vmatrix}\\
\lim_{t \to \infty}{-\frac{1}{2n}t^2e^{-2nt}}-\lim_{t \to 0}{-\frac{1}{2n}t^2e^{-2nt}}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}{te^{-2nt}\mbox{d}t}\\
\int_{0}^{\infty}{t^2e^{-2nt}\mbox{d}t}=\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}{te^{-2nt}\mbox{d}t}\\
\int_{0}^{\infty}{te^{-2nt}\mbox{d}t}=\begin{vmatrix}u=t & \mbox{d}v =e^{-2nt} \mbox{d}t\\\mbox{d}u=\mbox{d}t & v=-\frac{1}{2n}e^{-2nt}\end{vmatrix}\\
=\lim_{t \to \infty}{-\frac{1}{2n}te^{-2nt}}-\lim_{t \to 0}{-\frac{1}{2n}te^{-2nt}}+\frac{1}{2n}\int_{0}^{\infty}{e^{-2nt}\mbox{d}t}\\
\int_{0}^{\infty}{te^{-2nt}\mbox{d}t}=\frac{1}{2n}\int_{0}^{\infty}{e^{-2nt}\mbox{d}t}\\
\int_{0}^{\infty}{te^{-2nt}\mbox{d}t}=-\frac{1}{4n^2}\left(\lim_{t \to \infty}{e^{-2nt}}-\lim_{t \to 0}{e^{-2nt}}\right)\\
\int_{0}^{\infty}{te^{-2nt}\mbox{d}t}=-\frac{1}{4n^2}\left(0-1\right)\\
\int_{0}^{\infty}{te^{-2nt}\mbox{d}t}=\frac{1}{4n^2}\\
\int_{0}^{\infty}{t^2e^{-2nt}\mbox{d}t}=\frac{1}{4n^3}\\
\)


\(
=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4n^3}}\\
=\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^3}}
\)



Ciekawy jestem czy gdzieś nie popełniłem błędu

octahedron
Expert
Expert
Posty: 6759
Rejestracja: 19 mar 2011, 01:22
Otrzymane podziękowania: 3032 razy
Płeć:

Re: Oblicz całkę

Post autor: octahedron » 16 sie 2019, 23:18

\(\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin x)\ln(\cos x)}{\tg x}\,dx=\frac{1}{8}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin^2x)\ln(\cos^2x)}{\sin^2x}\cdot 2\sin x\cos x\,dx=\begin{Bmatrix}t=\sin^2x\\dt=2\sin x\cos x\,dx\end{Bmatrix}=\frac{1}{8}\int\limits_0^1\frac{\ln t\ln(1-t)}{t}\,dt=\\
=-\frac{1}{8}\int\limits_0^1\frac{\ln t}{t}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}\,dt=-\frac{1}{8}\int\limits_0^1\ln t\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n^2}\right)'\,dt=\frac{1}{8}\int\limits_0^1\frac{1}{t}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n^2}\,dt-\frac{1}{8}\left[\ln t\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n^2}\right]_0^1=\frac{1}{8}\int\limits_0^1\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n^3}\right)'\,dt-0=\\
=\frac{1}{8}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\)