Ekstrema lokalne funkcji

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
not_a_genius
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 20 lut 2019, 18:00
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Ekstrema lokalne funkcji

Post autor: not_a_genius » 28 cze 2019, 11:02

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji (o ile istnieją) \(f(x) = \frac{|x^2+2x-3|}{x^2}\)

Wyznaczyłem pochodną:
\(f'(x) = \begin{cases}
\frac{-2x+6}{x^3} \quad \text{jeśli} \quad x \in (-\infty, -3> \cup <1, +\infty) \\
\frac{2x-6}{x^3} \quad \text{jeśli} \quad x \in (-3, 0) \cup (0, 1)
\end{cases}\)


Potem sprawdziłem punkty krytyczne dla każdego przedziału:
1) \(x \in (-\infty, -3> \cup <1, +\infty)\\
f_{max}(3) = \frac{4}{3}\)


2) \(x \in (-3, 0) \cup (0, 1)\)
Żaden z punktów krytycznych nie należy do tego zbioru.

W odpowiedziach jest \(f_{min}(-3) = 0, f_{min}(1) = 0, f_{max}(3)=\frac{4}{3}\)

Nie wiem skąd bierze się to -3 i 1. Z góry dziękuję za pomoc.

beata1111
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 115
Rejestracja: 23 kwie 2012, 07:41
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: beata1111 » 28 cze 2019, 13:19

Funkcja jest ciągła w punktach -3 i 1 (punkty zmiany wzoru - zbadać ciągłość!). Liczymy pochodną w przedziałach otwartych (!) i badamy, czy dla x = -3 i dla x = 1 pochodna istnieje. Nie istnieje w obu punktach (pochodne lewo i prawostronne są różne), ale przy przejściu przez nie zmienia znak, tu w obu z ujemnego na dodatni, więc funkcja osiąga minimum dla x = -3 i x = 1.
Punkty krytyczne to nie tylko te, w których pochodna się zeruje, ale także te, w których funkcja jest ciągła, a pochodna nie istnieje. Jeżeli zmienia w nich znak, co widać, jak naszkicujemy wykres pochodnej, uwzględniając starannie przedziały, to istnieje tam ekstremum. Na wykresie funkcji są to takie ostre punkty

radagast
Guru
Guru
Posty: 16687
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7044 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 28 cze 2019, 13:37

A tak wygląda wykres tej funkcji:
ScreenHunter_725.jpg
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.