Funkcja pochodna - parametr
: 25 cze 2019, 15:37
Zbadaj, czy istnieją takie wartości parametrów k, m (\(k, m \in \rr\)), dla których funkcja f jest różniczkowana w zbiorze \(\rr\). Wyznacz \(f^`\).
\(f(x) = \begin{cases}
mx^2 + (k+1)x, \quad \text{jeśli} \quad x < -1\\
kx^2-3mx, \quad \text{jeśli} \quad x \geq -1
\end{cases}\).
Na samym początku sprawdziłem ciągłość funkcji i otrzymałem:
\(\Lim_{x \to -1^-}f(x) = m-k-1 \\
\Lim_{x \to -1^+}f(x) = k+3m\\\\
2k + 2m + 1 = 0\).
Potem sprawdziłem czy i kiedy funkcja ma pochodną w punkcie \(-1\).
\(\Lim_{h \to 0^-}\frac{f(h-1) - f(-1)}{h} = -2m + k \\
\Lim_{h \to 0^+}\frac{f(h-1) - f(-1)}{h} = -2k-3m\\\\
m+3k=0\)
Wyszedł mi układ równań:
\(\begin{cases}
2k+2m+1=0 \\
m+3k=0
\end{cases}\)
Problem w tym, że jak rozwiąże ten układ to wychodzi mi, że:
\(k = \frac{1}{4}\\
m = -\frac{3}{4}\)
a w odpowiedziach jest \(k=m=-\frac{1}{4}\).
Liczyłem to już 2 razy i dalej nie wiem gdzie jest błąd. Z góry dziękuję za pomoc.
\(f(x) = \begin{cases}
mx^2 + (k+1)x, \quad \text{jeśli} \quad x < -1\\
kx^2-3mx, \quad \text{jeśli} \quad x \geq -1
\end{cases}\).
Na samym początku sprawdziłem ciągłość funkcji i otrzymałem:
\(\Lim_{x \to -1^-}f(x) = m-k-1 \\
\Lim_{x \to -1^+}f(x) = k+3m\\\\
2k + 2m + 1 = 0\).
Potem sprawdziłem czy i kiedy funkcja ma pochodną w punkcie \(-1\).
\(\Lim_{h \to 0^-}\frac{f(h-1) - f(-1)}{h} = -2m + k \\
\Lim_{h \to 0^+}\frac{f(h-1) - f(-1)}{h} = -2k-3m\\\\
m+3k=0\)
Wyszedł mi układ równań:
\(\begin{cases}
2k+2m+1=0 \\
m+3k=0
\end{cases}\)
Problem w tym, że jak rozwiąże ten układ to wychodzi mi, że:
\(k = \frac{1}{4}\\
m = -\frac{3}{4}\)
a w odpowiedziach jest \(k=m=-\frac{1}{4}\).
Liczyłem to już 2 razy i dalej nie wiem gdzie jest błąd. Z góry dziękuję za pomoc.