Rozwiń funkcję w szereg
: 20 cze 2019, 15:49
Wykorzystując rozwinięcie funkcji \(g(x)= \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{ \infty } x^n\) w szereg Maclaurina, rozwiń funkcję \(f(x)= \frac{x}{2+x}\)w szereg Taylora w punkcie \(x_0=1\).
\(f(x)= \frac{x}{x+2}= \frac{x+2-2}{x+2}=1- \frac{2}{x+2} \\
\frac{2}{x+2}= \frac{2}{3+(x-1)}= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1+ \frac{x-1}{3} }=\frac{ \frac{2}{3}}{1+ \frac{x-1}{3} }\)
Ostatnie wyrażenie to suma szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(\frac{2}{3}\) i ilorazie \(- \frac{x-1}{3}\) zbieżnego dla \(|- \frac{x-1}{3}|<1 \iff |x-1|<3 \iff -2< x <4\). Wtedy
\(\frac{2}{x+2}= \frac{2}{3}- \frac{2(x-1)}{9}+ \frac{2(x-2)^2}{27}- \frac{2(x-1)^3}{81}+\ldots\), a funkcja
\(f(x)=1- \left( \frac{2}{3}- \frac{2(x-1)}{9}+ \frac{2(x-1)^2}{27}- \frac{2(x-1)^3}{81}+\ldots\right)= \frac{1}{3}+ \frac{2(x-1)}{9}- \frac{2(x-1)^2}{27}+\ldots= \frac{1}{3} +2 \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n+1} \frac{(x-1)^n}{3^{n+1}}\)
\(f(x)= \frac{1}{3}- \frac{2}{3} \sum_{n=1}^{ \infty } \left( - \frac{x-1}{3} \right)^n\)