znajdź rzut prostej na płaszczyznę

[lolipop692]

znajdź rzut prostej \(\begin{cases}x=1+t\\ y=2t\\ z=1-t \end{cases}\) na płaszczyznę \(x+y+z=0\)

[radagast]

poprowadźmy płaszczyznę \(\pi\) prostopadłą do podanej płaszczyzny, zawierającą podaną prostą .
\([1,1,1]\) wektor prostopadły do płaszczyzny \(x+y+z=0\)
\([1,2,-1]\) wektor równoległy do prostej \(\begin{cases}x=1+t\\ y=2t\\ z=1-t \end{cases}\)
\([1,1,1] \times [1,2,-1]=[-3,2,1]\) wektor prostopadły do \(\pi\)
No to \(\pi\) ma równanie \(-3x+2y+z+D=0\) skoro zawiera podaną prostą, to zawiera też punkt \((1,0,1)\) czyli \(-3 \cdot 1+2 \cdot 0+1+D=0\), stąd \(D=2\)
no to szukana prosta w postaci krawędziowej wygląda tak: \(\begin{cases} x+y+z=0\\-3x+2y+z+2=0\end{cases}\)

[lolipop692]

dziękuję