forum.zadania.info

Cześć
Potrzebuję pomocy przy rozwiązaniu poniższej całki podwójnej. Jeśli jest tu ktoś, dla kogo takie zadanie nie sprawia problemu to prosiłabym o pomoc

Zmniejsz ten obrazek, bo się NIE MIEŚCI.

Już lepiej.
Wprowadzamy współrzędne biegunowe: \(\begin{cases}x=r\cos\varphi \\y=r\sin\varphi\\|J|=r\end{cases}\)
Funkcja podcałkowa ma teraz postać: \[\iint_D \frac{2r dr d\varphi }{ \sqrt{1+r^2} }\] Pora na obszar D.

• Warunek \(x^2+y^2\le4 \iff r\le 2\).
  Gorzej z warunkiem \(x+y\le 0\). Podstawiając za x i y dostajemy:
  
  \(r\cos\varphi+r\sin\varphi \le 0 \iff r\sqrt2\cos \left( \varphi- \frac{\pi}{2} \right)\le 0 \iff \cos \left( \varphi- \frac{\pi}{2} \right)\le 0 ,\,\,\, \cos \left( \varphi- \frac{\pi}{2} \right)\le 0 \in[0,2\pi]\)
  Rozwiązaniem tej nierówności jest: \(\,\,\,\pi \le \varphi \le 2\pi\)

.
Obszar \(D= \left\{(r,\varphi): 0\le r \le 2 \wedge \pi \le \varphi \le 2\pi \right\}\), a całka zamienia się na \[\int_{\pi}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{2} \frac{2r dr }{ \sqrt{1+r^2} }= \ldots = 2\pi (\sqrt5-1)\]