Oblicz pole części powierzchni sfery
: 05 cze 2019, 21:48
Oblicz pole części powierzchni sfery \(x^2+y^2+z^2=3\) leżącej wewnątrz paraboloidy \(2z=x^2+y^2\). Wykonaj rysunek
\(2z+z^2=3\\
z=1 \vee z=-3\)
drugie rozwiązanie nie da paraboloidy więc liczymy po kole ograniczonym okręgiem:
\(2 \cdot 1=x^2+y^2\)
Ze względu na symetrię całką liczę tylko ćwiartkę pola
\(P=4 \int_{0}^{ \sqrt{2} } \left( \int_{0}^{ \sqrt{2-x^2} } \sqrt{1+( \frac{-2x}{2 \sqrt{3-x^2-y^2} } )^2+( \frac{-2y}{2 \sqrt{3-x^2-y^2} } )^2} \right) dx=...\)
Przejście na współrzędne biegunowe trochę uprości obliczenia.