Czy funkcja spełnai warunek
: 04 cze 2019, 22:30
a) Sprawdź, że funkcja \(z=arctg \frac{y}{x}\) spełnia warunek \(x^2z_{xx}+2xyz_{xy}+y^2z_{yy}=0\), gdzie \(x,y>0\).
\(z'_x= \frac{1}{1+( \frac{y}{x} )^2} \cdot \frac{-y}{x^2}= \frac{-y}{x^2+y^2} \\
z'_y= \frac{1}{1+( \frac{y}{x} )^2} \cdot \frac{1}{x}= \frac{x}{x^2+y^2} \\
z''_{xx}= \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} \\
z''_{xy}= \frac{-(x^2+y^2)+y \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\\
z''_{yy}= \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}\)
wstaw wyliczone pochodne do warunku i sprawdź czy jest on spełniony.