forum.zadania.info

Znajdź wszystkie ekstrema funkcji \(f(x,y)= \frac{x}{y}+ \frac{y+1}{ \sqrt{x} }\)

\(f'_x(x,y)=0 \iff \frac{1}{y} - \frac{y+1}{2\sqrt{x^3}} = 0 \iff \frac{1}{y} = \frac{y+1}{2\sqrt{x^3}} \iff \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 + 2y+1}{4x^3}\\f'_y(x,y)=0 \iff -\frac{x}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \iff \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{x}{y^2} \iff \frac{1}{4x} = \frac{x^2}{y^4}\\ \begin{cases}4x^3 = y^4 + 2y^3+y^2\\4x^3 = y^4 \end{cases},y\ne 0,x>0\)
Po odjęciu stronami otrzymujemy
\(2y^2(y + \frac{1}{2}) = 0 \So y = -\frac{1}{2}\\x^3 = \frac{1}{64} \So x = \frac{1}{4}\\f''_{xx}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}) = \frac{3(y+1)}{4\sqrt{x^5}}|_{(x,y) = (\frac{1}{4},-\frac{1}{2})} = 12\\f''_{xy}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{y^2} - \frac{1}{2\sqrt{x^3}}|_{(x,y) = (\frac{1}{4},-\frac{1}{2})} = -8\\f''_{yy}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}) = \frac{2x}{y^3}|_{(x,y)=(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})} = -4\)
\(\begin{vmatrix}f''_{xx}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})&& f''_{xy}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}) \\f''_{yx}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})&& f''_{yy}(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}) \end{vmatrix} = -112<0\)
A zatem w jedynym punkcie stacjonarnym nie ma ekstremum, a zatem funkcja nie ma ekstremów lokalnych.
Sprawdź jeszcze, czy nie pomyliłem się w obliczeniach.