forum.zadania.info

Rozwiąż równanie :
\(y'= \frac{9+y}{9+x}\) \(~~~~~~\) \(y(0)=9\)
\(y'= \frac{9}{x+y}\)
\(y'- \frac{9y}{x} = \frac{x+1}{x}\)

a) Równanie możemy zapisać w równoważnej, a wygodniejszej formie: \(\frac{dy}{dx}= \frac{9+y}{9+x}\)
Wtedy \(\frac{dy}{9+y}= \frac{dx}{9+x} \So \ln|9+y|=\ln|9+x| \So y+9=Ce^{x+9} \iff y=Ce^{x+9}-9\)
Skoro \(y(0)=9 \So Ce^9-9=9 \iff Ce^9=18 \iff C=18e^{-9}\)
Teraz mamy

• \[y=Ce^{x+9}-9=18e^{-9}e^{x+9}-9=18e^x-9\]

Nie chcąc obrażać twojej inteligencji, podpunkt b) pozostawię do samodzielnego rozwiązania.

c) Najpierw równanie jednorodne: \(y'- \frac{9y}{x}=0 \So y=cx^9\) (chyba dasz radę sam to zrobić).
Teraz uzmienniam stałą c=c(x), więc \(y'=c'x^9+9cx^8\) i nasze równanie przyjmuje postać
\(c'x^9+9cx^8- \frac{9cx^9}{x}= \frac{x+1}{x} \iff c'= \frac{x+1}{x^{10}} \So c=- \frac{1}{8}x^{-8} - \frac{1}{11}x^{-11}+C\) co daje \[y= \left( - \frac{1}{8}x^{-8} - \frac{1}{11}x^{-11}+C\right) x^9=Cx^9- \frac{x^3-8}{8x^2}\]

w podpunkcie b mam problem z rozdzieleniem bo wychodzi mi 9dy=(x+y)dx, jak tego y przełożyć na lewą stronę?

No, masz qrde rację. To nie jest równanie liniowe.
Podstawiam \(u=x+y \So u'=1+y' \So y'=u'-1\).
Teraz \(y'= \frac{9}{x+y} \iff u'-1= \frac{9}{u} \iff \frac{du}{dx}= \frac{9+u}{u}\)
Dostajemy równanie: \(\frac{u}{u+9}du=dx\)

Rozwiązanie będzie w postaci funkcji uwikłanej.

i teraz liczę z tego całki dalej jest jak w podpunkcie a? a na koniec zamiast u podstawiam x+y?

wyszło mi coś takiego po policzeniu całek u+9-9ln|u+9|=x

No, mi też tak wyszło. Wróć podstawienia i wszystko na jedna stronę (chyba - taka jest definicja funkcji uwikłanej)

ok dzięki

Na zdrowie!