Strona 1 z 1
Wyznacz rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
: 29 maja 2019, 20:33
autor: enta
Wyznacz rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego rzędu pierwszego , niejednorodnego : \(\frac{dy}{dx} +3y=x^2+sin3x\)
a) metodą uzmienniania stałej
b) metodą przewidywania
: 02 cze 2019, 07:21
autor: kerajs
a)
\(y'+3y=0\\
\frac{dy}{y}=-3dx\\
\ln y =-3x+C\\
y=Ce^{-3x} \\
y'=C'e^{-3x}+C(-3e^{-3x})\\
\\
C'e^{-3x}+C(-3e^{-3x})+3Ce^{-3x}=x^2+\sin 3x\\
C'=e^{3x}(x^2+\sin 3x)
C= \int_{}^{} e^{3x}(x^2+\sin 3x)dx=...=e^{3x} \left[ \frac{x^2}{3}-\frac{2x}{9}+\frac{2}{27} +\frac{1}{6}(\sin 3x-\cos 3x) \right]+K \\
y=Ke^{-3x}+ \frac{x^2}{3}-\frac{2x}{9}+\frac{2}{27} +\frac{1}{6}(\sin 3x-\cos 3x)\)
b)
\(r+3=0 \ \So \ y_o=Ce^{-3x}\\
y_s=Ax^2+Bx+C+D\sin 3x +E\cos 3x\\
y'_s=2Ax+B+3D\cos 3x -3E\sin 3x\\
2Ax+B+3D\cos 3x -3E\sin 3x+3(Ax^2+Bx+C+D\sin 3x +E\cos 3x)=x^2+\sin 3x\\
A= \frac{1}{3} \ \ , \ \ B= \frac{-2}{9} \ \ , \ \ C= \frac{2}{27} \ \ , \ \ D= \frac{1}{6} \ \ , \ \ E= \frac{-1}{6} \\
y=y_o+y_s=Ce^{-3x}+ \frac{x^2}{3}+\frac{-2x}{9}+\frac{2}{27} +\frac{1}{6}\sin 3x+\frac{-1}{6}\cos 3x\)