forum.zadania.info

proszę o pomoc w wyznaczeniu całki:
Korzystając ze współrzędnych biegunowych obliczyć całkę podwójna
\(\int_{}^{} \int_{}^{} 3xydxdy~~~~~~ {(x,y): x^2+y^2 \le 4, y \ge 0, x \le 0}\)

Stosujemy standardowe współrzędne biegunowe:
\(x = \rho cos\phi\\y = \rho sin\phi\\J = \rho\\\int\!\!\!\int_D 3xydxdy = 3\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi d\phi\int_0^2 \rho^3sin\phi cos\phi d\rho = 3\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi sin\phi cos\phi [\frac{\rho^4}{4}]_0^2d\phi = 12\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi sin2\phi d\phi = -6[cos2\phi]_{\frac{\pi}{2}}^\pi = -12\)