forum.zadania.info

Zakładając istnienie odpowiedniej funkcji uwikłanej \(y=f(x)\) obliczyć pierwszą pochodną tej funkcji, jeżeli \(y=2xarctg \frac{y}{x}\). (Wynik w odpowiedziach to \(y'= \frac{y}{x}\), ale wychodzi mi coś zupełnie innego. )

Mi wychodzi \(y'=- \frac{y}{x}\)

\(f(x,y)=2x\arctan \left( \frac{y}{x} \right) \So y'= \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{ \partial f}{ \partial x}}{\frac{ \partial f}{ \partial y}}\\
\text{gdzie }\,\,\frac{ \partial f}{ \partial x}=- \frac{2y}{x^2+y^2}, \,\,\, \frac{ \partial f}{ \partial y}= \frac{2x}{x^2+y^2}\)

\(y - 2x \arctg ( \frac{y}{x})\) = \(0\)
\(F(x,y)\) = \(0\)
\(F(x,y)\) = \(y - 2x \arctg ( \frac{y}{x})\)

\(F'_x\) = \(\frac{2xy}{x^2+y^2} - 2 \arctg ( \frac{y}{x})\), \(F'_y\) = \(1 - \frac{2x^2}{x^2+y^2}\)
\(f'\) = \(- \frac{F'_x}{F'_y}\) i wstawiając do tego wzoru nie skraca się do \(\frac{y}{x}\)
taka metoda jest błędna?

Ja myślę, że tu zaszło jakieś nieporozumienie związane z zapisem.
Też tak na początku pomyślałem, ale wtedy nie ma szans na taki wynik.
Ten twój sposób jest jak najbardziej poprawny tylko wtedy nie zapisuje się y= ... .