Dodane zadanie

[HALINASWIECKA]

Punkty A i B są środkami dwóch okręgów i leżą na paraboli y=\(x^2\)+mx-m+1. Odcięta środka okręgu w punkcie A jest równa 2 i jest o 5 większa od odciętej środka okręgu w punkcie B, ,a promienie tych okręgów mają odpowiednio długości m i 3+m. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których dane okręgi mają dwa punkty wspólne.

[HALINASWIECKA]

\(m \in \left(1;1 \frac{20}{21} \right)\)

[HALINASWIECKA]

Jeśli odcięta punktu A jest równa 2 i jest o 5 większa od odciętej punktu B , to odcięta punktu B jest równa -3.
Wiadomo ,że punkty te leżą na hiperboli o równaniu \(y=x^{2}+mx-m+1\) , zatem A=(2,5+m) i B=(-3,10-4m).
Punty A i B są środkami okręgów o promieniach długości odpowiednio m i m+3 , stąd m>0.

Dwa okręgi o środkach w punktach A i B mają dwa punkty wspólne , jeśli
\(|r_{1}-r_{2}| <|AB|< r_{1}+r_{2}\)

\(3 < |AB|<2m+3\)

\(|AB|= \sqrt{(2-(-3))^{2}+(10-4m-(5+m))^{2} }=\sqrt{25m^{2}-50m+50} =5 \sqrt{m^{2}-2m+2}\)

\(3 < 5 \sqrt{m^{2}-2m+2} < 2m+3 \quad \wedge \quad m>0\)

\(3 < 5 \sqrt{m^{2}-2m+2} \quad \wedge \quad 5 \sqrt{m^{2}-2m+2} < 2m+3 \quad \wedge \quad m>0\)

Obie strony pierwszej i drugiej nierówności można podnieść do kwadratu bo są nieujemne , więc

\(9 < 25m^{2}-50m+50 \quad \wedge \quad 25m^{2}-50m+50 <4m^{2}+9+12m \quad \wedge \quad m>0\)
\(0 <25m^{2}-50m+41 \quad \wedge \quad 21m^2-62m+41<0 \quad \wedge \quad m>0\)
\(\Delta=50^{2}-4 \cdot 41 \cdot 25 <0 \quad \Delta=62^{2}-4 \cdot 21 \cdot 41 =400 , \sqrt{\delta}=20 , m_{1}= \frac{62-20}{42}=1 , m_{2}= \frac{62+20}{42} =1 \frac{20}{21}\)

jk.jpg (31.75 KiB) Przejrzano 2584 razy

\(\underbrace{ m \in \rr \quad (wykres \ funkcji \ y=25m^{2}-50m+41 \ leży \ w \ całości \ nad \ osią \ Ox) \quad \wedge \quad m \in (1; 1\frac{20}{21} )\quad \wedge \quad m>0}_{m \in (1;1 \frac{20}{21})}\)

Odpowiedź: \(m \in (1;1 \frac{20}{21} )\)