forum.zadania.info

W trójkącie ABC zaznaczono punkt A' na boku BC, tak, że |A'B|:|A'C|=1:2 i punkt B' na boku AC, tak, że |B'A|:|B'C|=3:1. Odcinki AA' i BB' przecinają się w punkcie D.
Prosta CD przecina odcinek AB w punkcie C'.
Pole trójkąta BA'D jest równe 14.
a) Oblicz pole trójkąta ABC.
b) Oblicz stosunek |CD|:|DC'|.
Będę bardzo wdzięczna za pomoc!

Podpunkt a na razie tylko, zaraz wrzucę b
Trójkąty \(BDA'\) i \(DCA'\) mają wspólną wysokość, zatem pole trójkąta \(DCA'\) jest dwa razy większe, stąd mamy \(28\). Tak samo trójkąty \(CDB'\) i \(ADB'\) i mamy pola: \(P,3P\). Teraz możemy zapisać równanie:
\(P_{ACA'}=2P_{ABA'} \iff 4P+28=2 \left((a+b)P+14 \right) \iff a+b=2\)
oraz:
\(P_{BAB'}=3P_{BCB'} \iff (a+b+3)P=3 \left(P+14+28 \right) \iff P=63\)
Sumując pola wszystkich trójkątów dostajemy \(6P+42=420\)

Załóżmy, że odcinek \(DC'\) jest długości \(m\). Stosunek \(DC:DC'=k\) możemy otrzymać licząc stosunek pola trójkąta \(ADC'\) do \(CDA'\). Stosunek \(AD:DA'\) jest równy \(9:1\). Przyjmijmy, że \(DA'\) jest długości \(c\), oraz kąt przy wierzchołku \(D\) ma miarę \(\alpha\). Stąd nasz stosunek to:
\(\frac{aP}{28}= \frac{9c \cdot m \cdot \sin \alpha }{c \cdot km \cdot \sin \alpha }= \frac{9}{k}\), a więc mamy pole \(aP\) jest równe \(\frac{9 \cdot 28}{k}\), analogicznie dla trójkątów \(BDC'\) i \(CDB'\) i otrzymujemy, że \(bP= \frac{2 \cdot 63}{3k}\). Teraz możemy zapisać równość \(\frac{252}{k}+ \frac{126}{3k}=(a+b)P=126 \iff k= \frac{7}{3}\) i taki powinien być stosunek.

Super, bardzo dziękuję za rozwiązania

Jak nie rozumiesz rozwiązania to dopytaj bo sam ledwo rozumiem co napisałem xD, ciężko mi idzie redagowanie rozwiązań.